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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 0.2 - Ex. 29

Sejam f (x) = sqrt(x) e g (x) = x^3 + 1 . Determine:

(a) f ( g (2) )

(b) g ( f (4) )

(c) f ( f (16) )

(d) g ( g (0) )

(e) f ( 2 + h )

(f) g ( 3 + h )

Passo 1

(a) Queremos f ( g (2) ) . Primeiro, vamos calcular g ( 2 ) :

g (x) = x^3 + 1

g (2) = 2^3 + 1 = 8 + 1

:.

g (2) = 9

Com isso, precisamos calcular, na verdade, f ( 9 ) :

f ( x ) = sqrt(x)

f (9) = sqrt(9)

:.

f (9) = +- 3

Passo 2

(b) Queremos g ( f (4) ) . Primeiro, vamos calcular f ( 4 ) :

f ( x ) = sqrt(x)

f ( 4 ) = sqrt(4)

:.

f (4) = +- 2

Com isso, precisamos calcular, na verdade, g ( 2 ) e g ( - 2 ) :

g (x) = x^3 + 1

Primeiro, g ( 2 ) :

g (2) = 2^3 + 1 = 8 + 1

:.

g (2) = 9

Agora, g ( - 2 ) :

g (- 2) = (- 2)^3 + 1 = - 8 + 1

:.

g (- 2) = - 7

Passo 3

(c) Queremos f ( f (16) ) . Primeiro, vamos calcular f ( 16 ) :

f ( x ) = sqrt(x)

f ( 16 ) = sqrt(16)

:.

f (16) = +- 4

Com isso, precisamos calcular, na verdade, f ( 4 ) e f ( - 4 ) :

Primeiro, f ( 4 ) :

f ( 4 ) = sqrt(4)

:.

f (4) = +- 2

Agora, g ( - 4 ) :

f ( - 4 ) = sqrt(- 4)

Opa, - 4 não está no domínio de f , pois não temos resultado dentro dos números reais de raízes de números negativos.

Passo 4

(d) Queremos g ( g (0) ) . Primeiro, vamos calcular g ( 0 ) :

g (x) = x^3 + 1

g (2) = 0^3 + 1 = 0 + 1

:.

g (0) = 1

Com isso, precisamos calcular, na verdade, g ( 1 ) :

g (1) = 1^3 + 1 = 1 + 1

:.

g (1) = 2

Passo 5

(e) Queremos f (2 + h) . Primeiro, vamos calcular f ( 2 + h ) :

f ( x ) = sqrt(x)

:.

f ( 2 + h ) = sqrt(2 + h)

A única coisa que deve ser citada é que 2 + h deve ser um número maior ou igual a 0 , apenas, por conta da raiz quadrada. Portanto:

2 + h >= 0

:.

h >= - 2

Passo 6

(f) Queremos g (3 + h) . Primeiro, vamos calcular g ( 3 + h ) :

g (x) = x^3 + 1

g (3 + h) = (3 + h)^3 + 1

Vamos abrir esse cara aí:

g (3 + h) = (3 + h) (3 + h) (3 + h) + 1

g (3 + h) = ( 9 + 3 h + 3 h + h^2 ) (3 + h) + 1

g (3 + h) = ( 9 + 6 h + h^2 ) (3 + h) + 1

g (3 + h) = 27 + 9 h + 18 h + 6 h^2 + 3 h^2 + h^3 + 1

:.

g (3 + h) = h^3 + 9 h^2 + 27 h + 28

Resposta

(a) +- 3

(b) 9 e - 7

(c) +- 2

(d) 2

(e) sqrt(2 + h) , h >= - 2

(f) h^3 + 9 h^2 + 27 h + 28

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