Sejam f(x) = raiz(x) e g(x) = x^3 + 1 . Determine:

(a)f(g(2))

(b)g(f(4))

(c) f(f(16))

(d)g(g(0))

(e) f(2 + h)

(f) g(3 + h)

Passo 1

(a) Queremos f ( g 2 ) . Primeiro, vamos calcular g ( 2 ) :

g x = x 3 + 1

g 2 = 2 3 + 1 = 8 + 1

g 2 = 9

Com isso, precisamos calcular, na verdade, f ( 9 ) :

f ( x )   = x

f 9 = 9

f 9 = ± 3

Passo 2

(b) Queremos g ( f 4 ) . Primeiro, vamos calcular f ( 4 ) :

f ( x )   = x

f ( 4 )   = 4

f 4 = ± 2

Com isso, precisamos calcular, na verdade, g ( 2 ) e g ( - 2 ) :

g x = x 3 + 1

Primeiro, g ( 2 ) :

g 2 = 2 3 + 1 = 8 + 1

g 2 = 9

Agora, g ( - 2 ) :

g - 2 = - 2 3 + 1 = - 8 + 1

g - 2 = - 7

Passo 3

(c) Queremos f ( f 16 ) . Primeiro, vamos calcular f ( 16 ) :

f ( x )   = x

f ( 16 )   = 16

f 16 = ± 4

Com isso, precisamos calcular, na verdade, f ( 4 ) e f ( - 4 ) :

Primeiro, f ( 4 ) :

f ( 4 )   = 4

f 4 = ± 2

Agora, g ( - 4 ) :

f ( - 4 )   = - 4

Opa, - 4 não está no domínio de f , pois não temos resultado dentro dos números reais de raízes de números negativos.

Passo 4

(d) Queremos g ( g 0 ) . Primeiro, vamos calcular g ( 0 ) :

g x = x 3 + 1

g 2 = 0 3 + 1 = 0 + 1

g 0 = 1

Com isso, precisamos calcular, na verdade, g ( 1 ) :

g 1 = 1 3 + 1 = 1 + 1

g 1 = 2

Passo 5

(e) Queremos f 2 + h . Primeiro, vamos calcular f ( 2 + h ) :

f ( x )   = x

f ( 2 + h )   = 2 + h

A única coisa que deve ser citada é que 2 + h deve ser um número maior ou igual a 0 , apenas, por conta da raiz quadrada. Portanto:

2 + h ≥ 0

h ≥ - 2

Passo 6

(f) Queremos g 3 + h . Primeiro, vamos calcular g ( 3 + h ) :

g x = x 3 + 1

g 3 + h = 3 + h 3 + 1

Vamos abrir esse cara aí:

g 3 + h = 3 + h 3 + h 3 + h + 1

g 3 + h = ( 9 + 3 h + 3 h + h 2 ) 3 + h + 1

g 3 + h = ( 9 + 6 h + h 2 ) 3 + h + 1

g 3 + h = 27 + 9 h + 18 h + 6 h 2 + 3 h 2 + h 3 + 1

g 3 + h = h 3 + 9 h 2 + 27 h + 28

Resposta

(a) ± 3

(b) 9   e - 7

(c) ± 2

(d) 2

(e) 2 + h , h ≥ - 2

(f) h 3 + 9 h 2 + 27 h + 28

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