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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.8 - Ex. 21

Determine uma primitiva para cada função. Faça quantas puder mentalmente. Confira suas respostas por diferenciação

  1. 3 x
  2. 2 - x
  3. 5 3 x

Passo 1

Como o exercício nos pede uma primitiva, vamos usar o raciocínio inverso da derivada e tentar achar uma função cuja derivada seja a função com a qual estamos trabalhando. Para as funções, mais especificamente as do tipo a x que é o caso que temos aqui tem se a seguinte regra

f x = a k x → F x = 1 k ⋅ ln ⁡ a ⋅ a k x + C

Como queremos apenas uma primitiva, vamos utilizar C = 0 .

Passo 2

Lembrando que estamos utilizando C = 0 , vamos aplicar nossa regra para encontrar uma primitiva em cada letra

f x = 3 x → F x = 1 ln ⁡ 3 ⋅ 3 x

g x =   2 - x → G x = 1 - 1 ⋅ ln ⁡ 2 ⋅ 2 - x =   - 2 - x ln ⁡ 2

h x = 5 3 x   → H x = 1 ln ⁡ 5 3 ⋅ 5 3 x

Resposta

  1. 1 ln ⁡ 3 ⋅ 3 x
  2. - 2 - x ln ⁡ 2
  3. 1 ln ⁡ 5 3 ⋅ 5 3 x
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Seja f : R → R , derivável e tal que para todo x , f ' x = αf x , α constante não nula. Prove que existe uma constante k , tal que, para todo x , f x = ke α x .