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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.4 - Ex. 34

Altura média de um cone: Encontre a altura média do cone (simples) z   =   x 2 +   y 2 acima do disco x 2   +   y 2   ≤   a 2 no plano x y

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

A média de uma função f ( x , y ) é dada por:

m = ( 1 A ∬ D f x , y d x   d y ) )  

Onde A é a do domínio, nesse caso f x , y = x 2 + y 2 e D é área do disco x 2 + y 2 ≤ a 2 .

Sabemos que a área de disco é π a 2 . Temos:

m = 1 A ∬ D x 2 + y 2   d x   d y

Podemos levar para coordenadas polares:

Sabendo que x 2 + y 2 = r 2

m = 1 A ∬ D r     r d r d θ

Sendo o disco, dado por exemplo por:

Onde o raio nesse caso foi escolha arbitraria, caso a   fosse 4, o raio seria 4, se fosse 5, seria.. Até que percebemos que r = a . Assim:

m = 1 π a 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 a r   r   d r   d θ

Passo 2

m = 1 π a 2 ∫ 0 2 π 1 3 r 3 0 a d θ

1 3 π a 2 ∫ 0 2 π a 3 d θ

Passo 3

a 3 π θ 0 2 π  

2 3 a

Resposta

A altura média m é:

2 3 a

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