Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.Revisão - Ex. 52
O Teorema do Valor Médio para as integrais duplas diz que, se é uma função contínua em uma região plana do tipo ou do tipo , então existe um ponto em , tal que
Utilize o Teorema do Valor Extremo e a Propriedade das integrais para demonstrar esse teorema. (Use a demonstração da versão unidimensional da Seção , no Volume , como guia.)
Passo 1
Tudo beleza, meus queridões?
Se liguem só nessa questão!
Como temos várias citações do livro pode causar alguma confusão, mas essa questão não é muito trabalhosa não, fiquem calmos.
A questão quer que a gente use o Teorema do Valor Extremo (na parte do livro) e usar a propriedade das integrais (em para demonstrar que no Teorema do Valor Médio para integrais duplas não existe o ponto , inclusive nessa integral aqui, ó:
Vamo simbora fazer essa questão doida.
Passo 2
Pelo Teorema do Valor Extremo nós temos que tem um valor mínimo absoluto e um valor máximo absoluto em (dentro do domínio).
Então, pela propriedade nós temos que
Como é um número positivo, podemos dividir todo mundo por ele de modo a obtermos
Beleza, mas o que isso quer dizer?
Isso nos diz que o valor médio de sobre está entre e . Mas é contínua em e assume os valores e , e assim pelo Teorema do Valor Intermediário deve assumir todos os valores entre e também.
Para nós isso vai nos dizer que especificamente existe um ponto em tal que
O que equivale a dizer que
Como queríamos demonstrar. Show de bolinha! 😊
