75. Texto. Seja uma função contínua num intervalo eseja o ponto garantido pelo Teorema do Valor Médio para Integrais. Explique geometricamente por que pode ser interpretado como um “valor médio” de

Antes de pensar no porque pode ser visto como valor médio, temos que entender o que é o valor médio.

Quando tomamos a média de vários valores, é como se juntássemos todas as quantidades de valores e dividíssemos em quantidades iguais para esses mesmo , isto é .Agora vamos pensar no que seria tomar a média de uma integral. A integral nada mais é que a soma de várias áreas ao longo de um intervalo. Para cada ponto desse intervalo temos uma área associada a esse ponto, então se quisermos tomar uma média, devemos somar as áreas de cada elemento nesse intervalo(o que corresponde a nossa integral) e depois dividir pela quantidade de elementos(o que nesse caso corresponde ao tamanho do intervalo).

Matematicamente teremos:

Neste processo de tomar o valor médio, nós queremos que cada ponto do intervalo esteja associado a uma mesma quantidade de área e isso é semelhante a construir um quadrado onde a base é e a altura é , o valor médio da função. Quando manipulamos a formula do valor médio, vemos que ele realmente representa a área de um quadrado e também vemos que a área de curva não se altera, mas é apenas redistribuida em partes iguais: