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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.1 - Ex. 38

Analise as funções trigonométricas f nos intervalos especificados indicando onde f é crescente, decrescente, côncava para cima, côncava para baixo, e as coordenadas x de todos os pontos de inflexão. Verifique se seus resultados estão em conformidade com o gráfico de f gerado por algum recurso computacional.

38. f x = s en 2 ⁡ 2 x ,   0 ,   π

Passo 1

Peguemos o gráfico da função, dentro do intervalo pedido, pra já termos uma melhor ideia dos nossos resultados:

Passo 2

f vai ser crescente entre os pontos de mínimo e os pontos de máximo, nesta ordem, necessariamente. Pra determiná-los, precisamos derivar a função e igualar a derivada a zero.

Temos:

f ' x = 2 sen ⁡ 2 x ∙ 2 cos ⁡ 2 x

f ' x = 4 sen ⁡ 2 x cos ⁡ 2 x

Igualando a zero, vamos ter:

4 sen ⁡ 2 x cos ⁡ 2 x = 0

sen ⁡ 2 x cos ⁡ 2 x = 0

Temos que ou sen ⁡ 2 x = 0 ou cos ⁡ 2 x = 0 . Resolvendo, nesta ordem, considerando o intervalo trabalhado, temos:

sen ⁡ 2 x = 0

2 x = 0 ou 2 x = π ou 2 x = 2 π

Assim:

∴ x = 0 ou x = π 2 ou x = π

cos ⁡ 2 x = 0

2 x = π 2 ou 2 x = 3 π 2

∴ x = π 4 ou x = 3 π 4

Então, ao observar pelo gráfico, temos como pontos de mínimo x = 0 , x = π 2 e x = π .

Como pontos de máximo, x = π 4 e x = 3 π 4 .

Assim, os intervalos de crescência e decrescência serão:

Crescente: 0 ,   π 4 ∪ π 2 ,   3 π 4

Decrescente: π 4 ,   π 2 ∪ 3 π 4 ,   π

Passo 3

Pra verificar os intervalos de concavidade voltada pra cima e pra baixo, precisamos dos pontos de inflexão, que se determinam quando igualamos a derivada segunda da função a zero.

Observe que temos 4 pontos em que a concavidade muda. Assm, teremos:

f ' ' x = 8 cos ⁡ 4 x

Igualando a zero, vamos ter:

8 cos ⁡ 4 x = 0

cos ⁡ 4 x = 0

4 x = π 2 ou 4 x = 3 π 2 ou 4 x = 5 π 2 ou 4 x = 7 π 2

∴ x = π 8 ou x = 3 π 8 ou x = 5 π 8 ou x = 7 π 8

Assim, esses são os pontos de inflexão, onde a função muda de concavidade. Ao observar pelo gráfico, podemos determinar os intervalos das concavidades:

Concavidade pra cima: 0 ,   π 8 ∪ 3 π 8 ,   5 π 8 ∪ 7 π 8 ,   π

Concavidade pra baixo: π 8 ,   3 π 8 ∪ 5 π 8 ,   7 π 8

O ciclo trigonométrico nos ajuda com os ângulos:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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53-54. Em cada parte, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se falsa, encontre funções para quais a afirmação não é válida.54. b) Se f e g forem côncavas para cima em um intervalo, então f .