Prove que:

Passo 1

Belezinha, para realizarmos essa prova vamos assumir que:

y = a r c cos ⁡ ( - x )

Sendo assim, aplicando a função c o s nos dois lados da igualdade teremos que:

cos ⁡ ( y ) = - x

- cos ⁡ y = x

Passo 2

Para continuarmos a nossa prova, teremos que nos lembrar da seguinte propriedade trigonométrica:

cos ⁡ ( A - B ) = cos ⁡ A . cos ⁡ ( B ) + s e n A . s e n ( B )

Assumindo A = π e B = y , temos que:

cos ⁡ ( π - y ) = cos ⁡ π . cos ⁡ ( y ) + s e n π . s e n ( y )

= - 1 . cos ⁡ ( y ) + 0 . s e n ( y )

= - cos ⁡ ( y )

Sendo assim, podemos concluir que:

cos ⁡ ( π - y ) = - cos ⁡ ( y )

Passo 3

Substituindo a informação que acabamos de encontrar na nossa prova, ficamos com o seguinte:

- cos ⁡ y = x

cos ⁡ ( π - y ) = x

Aplicando a função inversa de c o s ( a r c   c o s ) nos dois lados da igualdade:

π - y = a r c cos ⁡ x

- y = - π + a r c cos ⁡ x

y = π - a r c cos ⁡ x

Mas pera lá! Lembra que assumimos y = a r c cos ⁡ ( - x ) ? Substituindo:

a r c cos ⁡ ( - x ) = π - a r c cos ⁡ ( x )

Prontinho, agora sim! Acabamos de provar que a r c cos ⁡ ( - x ) = π - a r c cos ⁡ ( x ) .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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