Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 47
Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.
Passo 1
E aí! tudo certinho?
Nesse problema foi dado o limite
E nosso objetivo é calcular esse limite aplicando a regra de L’Hopital ou por algum método de simplificação.
Tem ideia de como fazemos isso?
A regra de L’Hopital é aplicada quando temos que calcular o limite de uma fração e pelo método de substituição caímos em uma indeterminação ou ...
A regra de L’Hopital consiste em derivar o numerador e o denominador repetidas vezes até eliminarmos a indeterminação do limite...
Mas lembre! Só podemos aplicar a regra de L’Hopital quando temos uma indeterminação...
Veja só!
Passo 2
Nosso limite é dado por
Vamos reorganizar nossa função levando para o denominador...
Pronto, agora temos uma fração... aplicando o método da substituição, vemos que tanto quanto tendem a quando tende a . Ou seja
Pronto... temos uma fração e uma indeterminação, agora podemos aplicar a regra de L’Hopital.
Bora lá!
Passo 3
Derivando o numerador e o denominador separadamente, temos
Para a derivada de aplicamos a regra da cadeia...
Substituindo no limite, temos
Se aplicarmos o método de substituição novamente vamos cair em outra indeterminação pois e tendem a quando tende a ...
Por isso vamos aplicar a regra de L’Hopital novamente.
Tranquilo até aqui?
Passo 4
Derivando o numerador e o denominador novamente, chegamos em
Substituindo no limite
Agora quando aplicamos o método de substituição vemos que o numerador permanece constante e o denominador tende a .
Quando temos um numero pequeno sendo dividido por um numero muito grande, o resultado é um numero muito próximo de , logo
É isso! O que achou? Responde Aí!