Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 43
Encontre o limite. Use a regra de L’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de L’Hôspital não se aplicar, explique por quê.
Passo 1
E aí, galerinha! Nessa questão, queremos encontrar o limite abaixo:
Para isso, o enunciado diz que devemos utilizar a Regra de L’Hôspital, caso seu uso seja apropriado. Porém, caso exista um método mais elementar, devemos considerar utilizá-lo.
Basicamente, a Regra de l’Hôspital é uma maneira de resolver os limites
quando esses são indeterminados do tipo ou . Para isso, é necessário que e sejam deriváveis e
Então
Resumidamente, ela diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite dos quocientes de suas derivadas, desde que certas condições sejam satisfeitas.
Observe que o limite que estamos tentando calcular é uma forma indeterminada do tipo pois
e
Uma boa ideia para resolvermos essa questão é tentar manipular a expressão que estamos querendo obter o limite, visando obter uma nova que nos permita usar a Regra de L’Hôspital ou um método elementar.
Vamos ver como fazer isso nos próximos passos 👀!
Passo 2
Queremos calcular o limite
que é do tipo como visto no Passo anterior.
😁 Mas como podemos transformar esse limite em um do tipo ou ?
Bem, observe que fazendo a mudança de variável , teremos que a variável quando a variável , pois o denominador fica muito grande e o numerador é uma constante.
Além disso, podemos reajustar os termos de forma que
Dessa forma, observe que podemos reescrever o limite que queremos calcular da seguinte maneira:
Nos próximos passos, vamos calcular o limite
Passo 3
Note que o limite
pois é uma constante.
Além disso,
é o limite trigonométrico fundamental, e vale que
Portanto, desfazendo a mudança de variáveis, temos que:
ou seja,
Passo 4
Vamos resolver o limite
utilizando a Regra de L’Hospital.
Primeiro, vamos verificar se as condições da Regra de L’Hospital são satisfeitas.
Tomando e , temos que
e
Derivando ambas as funções, temos que
e
Dessa forma:
Aplicando então a regra:
ou seja,
Portanto, desfazendo a mudança de variáveis como no passo anterior, temos que:
Passo 5
Se é apropriado usar a regra de L’Hospital nesse caso é uma pergunta delicada.
Pensa aqui comigo: Quando foi provado que a derivada da função seno é a função cosseno, foi usado que o limite trigonométrico fundamental é 1.
Então o argumento fica circular: Para usar a regra de L’Hôspital para calcular o limite
usamos que a derivada da função seno é a função cosseno. Por outro lado, para provar que a derivada da função seno é a função cosseno, usamos que
Resposta
O limite procurado é dado por