Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.4 - Ex. 43
Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.
Passo 1
Falai galerinha, tudo certo:
Como diria a Viúva Negra, “Ainda somos amigos, certo?”
Boraaa fazer essa comigo
A questão pede para encontrarmos o limite da função
Quando tende a .
Temos que verificar se a Regra de L'Hospital é aplicável e, se houver um método mais elementar, utilizá-lo.
Para encontrar o limite de uma função quando se aproxima de um valor, podemos usar várias técnicas:
Limites Fundamentais e Funções Trigonométricas:
- Sabemos que
Para próximo de .
Regra de L'Hospital:
- A Regra de L'Hospital é usada para limites do tipo ou .
Ela afirma que:
Se esses limites existirem.
Passo 2
A função dada é
Vamos reescrever isso em termos de seno e cosseno:
Portanto, a expressão se torna:
Passo 3
Reescrevendo o limite:
Vamos analisar a expressão
quando
1. Sabemos que
quando é próximo de 0.
2. E que
quando é próximo de 0.
3. Sabemos que
Se aproxima de quando é próximo de .
Passo 4
Portanto:
Assim, o limite é:
Portanto, o limite é 3.
Não foi necessário aplicar a Regra de L'Hospital, pois a simplificação e as aproximações elementares das funções trigonométricas foram suficientes para resolver o problema.
“Nós somos Groot”
