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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.5 - Ex. 19

19. Calcule s e n   31 ° com precisão de três casas decimais, usando o polinômio de Taylor do exercício 5 em π 6 . ( Use a aproximação 1 180 π ≈ 0,0175 .)

Passo 1

Nesta questão o enunciado não nos fornece muitas informações, somente o que ele quer que encontramos mesmo. Para isso, basta aplicarmos a formula do polinômio de Taylor do enésimo grau apresentada ao longo da Seção. Devemos também utilizar a formula para o cálculo do resto de Lagrange.

O Polinômio de Taylor de enésimo grau da função f no número a é dado por:

P n x = f a + f ´ a 1 ! . x - a + f ´ ´ a 2 ! . x - a 2 + … + f n a n !   . x - a n

Passo 2

Sendo assim, para a função dessa questão o polinômio de Taylor ficaria da seguinte forma:

P 3 x = f π 6 + f ´ π 6 1 ! . x - π 6 + f ´ ´ π 6 2 ! . x - π 6 2 + f 3 π 6 3 !   . x - π 6 3

Passo 3

P 3 x = 1 2 + 3 2 x - π 6 - 1 4 x - π 6 2 - 3 12 x - π 6 3

Passo 4

Sendo assim, para o calculo em questão teremos:

31 ° ≈ 31 π 180 r a d = x

x - π 6 = 31 π 180 - π 6 = 1 180 π ≈ 0,0175

P 3 31 ° = 1 2 + 3 2 0,0175 - 1 4 0,0175 2 - 3 12 0,0175 3 = 0,515

Então, s e n   31 ° = 0,515

Resposta

s e n   31 ° = 0,515

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D e t e r m i n eop o l i n ô m i od eT a y l o r ,d eo r d e m2 ,d efe mv o l t ad ex 0d a d o . ô f x = cos ⁡ x e x 0 = 0
D e t e r m i n eop o l i n ô m i od eT a y l o r ,d eo r d e m2 ,d efe mv o l t ad ex 0d a d o . ô f x = x e x 0 = 4
D e t e r m i n eop o l i n ô m i od eT a y l o r ,d eo r d e m2 ,d efe mv o l t ad ex 0d a d o . ô sen ⁡ x e x 0 = 0
Mostre que para todo x sen ⁡ x - x ≤ 1 3 ! x 3
Mostre que para todo x cos ⁡ x - 1 - x 2 2 ≤ 1 3 ! x 3