Aplique o Teorema 5.6.9 para encontrar um intervalo fechado contendo a integral definida dada:

∫ 1 4 x - 2 d x

(Teorema dado no livro)

Passo 1

O Teorema apresentado na questão diz que se temos uma função f x com máximo M e mínimo m dentro de um intervalo [ a ,   b ] , o valor de ∫ a b f x d x estará entre m ( b - a ) e M ( b - a ) . O que queremos então é encontrar os valores máximo e mínimo da função f x = x - 2 no intervalo [ 1 ,   4 ] para então aplicar o teorema e saber entre que valores está a integral.

Passo 2

Pra acharmos os valores máximo e mínimo da função no intervalo, precisamos primeiro entender a função modular. Quando temos módulo, ele funciona assim:

x = - x ,   s e   x < 0 x ,   s e   x ≥ 0

O que está dentro do módulo, o x - 2 , muda de sinal quando x = 2   ( f 2 = 0 ) , então a nossa função fica assim:

f x = - x - 2 = 2 - x ,   s e   x < 2 x - 2 ,   s e   x ≥ 2

Então nossa função é decrescente até o x = 2 , quando f x = 0 , e depois começa a crescer de novo. O gráfico da nossa função nesse intervalo fica assim:

Fica claro pra gente que temos o ponto mínimo absoluto em f 2 = 0 e o máximo no extremo direito, tendo f 4 = 2 . Como agora já temos os valores m = 0 e M = 2 , podemos aplicar o teorema.

Passo 3

Aplicando diretamente o teorema, tendo a , b = [ 1,4 ] , m = 0 e M = 2 , sabemos então que:

m 4 - 1 ≤   ∫ 1 4 x - 2 d x ≤ M 4 - 1

⇒ 0 ⋅ 3 ≤   ∫ 1 4 x - 2 d x ≤ 2 ⋅ 3

⇒ 0 ≤ ∫ 1 4 x - 2 d x ≤ 6

Resposta

∫ 1 4 x - 2 d x ∈ [ 0 ,   6 ]

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