21. Inscreva um polígono regular de lados dentro de um círculo de raio 1 e calcule a área do polígono para os seguintes valores de :

a. 4 (quadrado)

b. 8 (octógono)

c. 16

d. Compare as áreas obtidas nos itens (a), (b) e (c) com a área do círculo.

Para descobirmos quanto vale a área, precisamos descobrir quanto vale . E isso é fácil só usar pitagoras naquele triângulo, em que a hipotenusa dele é igual ao raio do circulo:

Prontinho, agora é só substituir na equação da área do quadrado:

b.

Vamos fazer a mesma coisa da letra (a), desenhar o octógono dentro do circulo:

Perceba que vamos ter 8 triângulos isósceles iguais dentro desse octógono, vamos calcular a área de um deles e multiplicar por 8 para descobrirmos a área total.

A área de uma triângulo é igual a

Se desenharmos todos os ângulos um do lado do outro, vamos perceber que precisamos de 16 angulos para completarmos uma volta inteira, . Ou seja,

O lado maior do triângulo é igual ao raio do circulo.

A altura do triângulo é igual ao lado maior do vezes o cosseno de :

Já a metade da base do triângulo é igual ao lado maior vezes o seno de :

Com isso descobrimos a área do triângulo:

E a área do octógono será:

c.

Como nas duas ultimas letras, vamos desenhar o polígono dentro do criculo:

Nesse caso nós vamos ter 16 triângulos isósceles e vamos usar do mesmo método anterior para calcular sua área.

Diferente da letra (b) em que precisamos de 16 ângulos somados para conseguirmos os 360°, aqui vamos precisar de 32, então:

O lado maior do triâgulo continua sendo igual ao raio.

E a altura e base são calculadas da mesma forma:

e

Sua área vai ser de:

E a área do polígono:

d.

A área do circulo é

seu raio é 1, então:

Podemos observar que as áreas dos polígonos são menores que a área total do círculo, mas a medida que o numero de lados desses poligonos cresce, mais a área do polígono se aproxima da área do círculo.