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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 34

Aplique o Teorema 5.6.9 para encontrar um intervalo fechado contendo a integral definida dada:

∫ - π / 2 π / 2 3 sen 3 ⁡ x   d x

(Teorema dado no livro)

Passo 1

O Teorema apresentado na questão diz que se temos uma função f x com máximo M e mínimo m dentro de um intervalo [ a ,   b ] , o valor de ∫ a b f x d x estará entre m ( b - a ) e M ( b - a ) . O que queremos então é encontrar os valores máximo e mínimo da função f x = 3 sen 3 ⁡ x no intervalo [ - π 2 , π 2 ] para então aplicar o teorema e saber entre que valores está a integral.

Passo 2

Pra acharmos o máximo e mínimo absolutos da função f x = 3 sen 3 ⁡ x no intervalo dado, precisamos primeiro achar os pontos críticos. Derivando a função obtemos:

f ' x = 9 sen 2 ⁡ x cos ⁡ x

Teremos um ponto crítico quando a derivada for igual a zero ou não exisir. Como f ' ( x ) existe para todo x , queremos f ' x = 0 . Resolvemos então a equação no intervalo [ - π 2 , π 2 ] :

f ' x = 9 sen 2 ⁡ x cos ⁡ x = 0

1 ) sen ⁡ x = 0

2 ) cos ⁡ x = 0

Para o resultado 1 temos no nosso intervalo apenas x = 0 . Para o resultado 2 temos x = - π 2 e x = π 2 (coincidentemente os extremos do intervalo). Logo, temos esses três pontos críticos. Agora basta comparar o valor de f ( x ) nesses três pontos para acharmos o máximo e o mínimo absolutos da função no intervalo.

Passo 3

Comparamos agora os valores da função nos ponto críticos:

f 0 = 3 sen 3 ⁡ 0 = 0

f - π 2 = 3 sen 3 ⁡ - π 2 = 3 - 1 3 = - 3

f π 2 = 3 sen 3 ⁡ π 2 = 3 1 3 = 3

Temos então m = f - π 2 = - 3 e M = f - π 2 = 3 . Como já temos os valores m e M , podemos aplicar o teorema.

Passo 4

Aplicando diretamente o teorema, tendo a , b = [ - π 2 , π 2 ] , m = - 3 e M = 3 , sabemos então que:

m π 2 - - π 2 ≤   ∫ - π / 2 π / 2 3 sen 3 ⁡ x   d x ≤ M π 2 - - π 2

⇒ - 3 ⋅ π + π 2 ≤   ∫ - π / 2 π / 2 3 sen 3 ⁡ x   d x ≤ 3 ⋅ π + π 2

⇒ - 3 π ≤ ∫ - π / 2 π / 2 3 sen 3 ⁡ x   d x ≤ 3 π

Resposta

∫ - π / 2 π / 2 3 sen 3 ⁡ x   d x ∈ [ - 3 π ,   3 π ]

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