Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 26
Aplique o Teorema 5.6.9 para encontrar um intervalo fechado contendo a integral definida dada:
(Teorema dado no livro)
Passo 1
O Teorema apresentado na questão diz que se temos uma função com máximo M e mínimo m dentro de um intervalo , o valor de estará entre e . O que queremos então é encontrar os valores máximo e mínimo da função no intervalo para então aplicar o teorema e saber entre que valores está a integral.
Passo 2
Primeiro analisaremos o gráfico da função , para definirmos o máximo e mínimo absoluto no intervalo . Derivando a função, temos:
Podemos ter um máximo ou mínimo relativo quando for zero ou quando não existir. O valor existe para qualquer real, então queremos no intervalo
é uma raíz pra essa equação. As outras raízes são e , mas como não pertence ao intervalo, o descartamos. Então temos , pontos críticos da função no intervalo dado. Agora precisamos analisar os valores da função nesses pontos e nos extremos e , para descobrirmos os valores máximo e mínimo absolutos da função em .
Passo 3
Analisamos agora o valor da função nos pontos críticos e , e nos extremos e .
O mínimo absoluto do intervalo é então e o máximo é . Como já temos os valores e , podemos aplicar o teorema.
Passo 4
Aplicando diretamente o teorema, tendo , e , sabemos então que: