Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 5.2 - Ex. 52
Use as propriedades de integrais para verificar a desigualdade sem calcular as integrais.
Passo 1
Se queremos provar que uma integral calculada em um intervalo é maior que outra integral calculada no mesmo intervalo, o primeiro passo é comparar o valor das funções nesse intervalo. Uma propriedade importantíssima de integrais diz que se temos uma função que é maior ou igual a uma outra função em um intervalo , então:
Devemos então provar que no intervalo de integração, então teremos provado o que se pede.
Passo 2
Uma boa forma de analisar se uma coisa é maior que outra é olhar pra diferença entre as duas. Queremos provar que para , então vamos olhar para a seguinte diferença:
Queremos então que para o intervalo dado. Vamos racionalizar o resultado, multiplicando pelo conjugado em cima e em baixo, para analisar melhor a subtração:
Usamos o produto notável pra calcular a multiplicação de cima:
A parte de baixo é sempre positiva quando a função existe (soma de raízes), então basta garantir que a parte de cima também é positiva. Para , temos positivo. Então a diferença é positiva:
Pela propriedade, provamos então que
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)