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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 5.2 - Ex. 52

Use as propriedades de integrais para verificar a desigualdade sem calcular as integrais.

∫ 1 2 5 - x   d x ≥ ∫ 1 2 x + 1   d x

Passo 1

Se queremos provar que uma integral calculada em um intervalo é maior que outra integral calculada no mesmo intervalo, o primeiro passo é comparar o valor das funções nesse intervalo. Uma propriedade importantíssima de integrais diz que se temos uma função f ( x ) que é maior ou igual a uma outra função g ( x ) em um intervalo [ a ,   b ] , então:

∫ a b f x d x ≥ ∫ a b g x d x

Devemos então provar que 5 - x ≥ x + 1 no intervalo de integração, então teremos provado o que se pede.

Passo 2

Uma boa forma de analisar se uma coisa é maior que outra é olhar pra diferença entre as duas. Queremos provar que 5 - x ≥ x + 1 para x ∈ [ 1 ,   2 ] , então vamos olhar para a seguinte diferença:

h x = 5 - x - x + 1

Queremos então que h x ≥ 0 para o intervalo dado. Vamos racionalizar o resultado, multiplicando pelo conjugado em cima e em baixo, para analisar melhor a subtração:

h x = 5 - x - x + 1 5 - x + x + 1 5 - x + x + 1

Usamos o produto notável a - b a + b = a 2 - b 2 pra calcular a multiplicação de cima:

h x = 5 - x - ( x + 1 ) 5 - x + x + 1 = 4 - 2 x 5 - x + x + 1

A parte de baixo é sempre positiva quando a função existe (soma de raízes), então basta garantir que a parte de cima também é positiva. Para 1 ≤ x ≤ 2 , temos 4 - 2 x positivo. Então a diferença é positiva:

h x = 5 - x - x + 1 ≥ 0

⇒ 5 - x ≥ x + 1     ( 1 ≤ x ≤ 2 )

Pela propriedade, provamos então que

∫ 1 2 5 - x   d x ≥ ∫ 1 2 x + 1   d x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Encontre ∫ 1 2 x - 2 d x . Sugestão: Escolha x i * como a média geométrica de x i - 1 e x i (isto é, x i * = x i - 1 x i ) e use a identidade 1 m m + 1 = 1 m - 1 m + 1 .