Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 5.2 - Ex. 56
Use a Propriedade 8 para estimar o valor da integral.
Passo 1
A Propriedade 8 do livro diz respeito ao teorema do valor médio para integrais. O teorema diz que se temos uma função contínua num intervalo , e essa função dentro do intervalo tem valor máximo e valor mínimo , então:
Então podemos resolver o problema encontrando os valores máximo e mínimo absoluto da função no intervalo e aplicando o teorema. Saberemos então entre que valores está a integral.
Passo 2
Temos a função no intervalo e queremos achar o máximo e mínimo absolutos nesse intervalo. Vamos derivar a função para analisar o crescimento e decrescimento e veificar se tem pontos críticos:
A derivada sempre existe e é sempre positiva no intervalo dado, então a função é crescente nele. Isso significa que o valor mínimo da função ocorre no início do intervalo e o valor máximo no final. Temos então os valores de e :
Aplicando então o teorema:
Sabemos então que a integral está entre esses dois valores.