Use a Propriedade 8 para estimar o valor da integral.

∫ 0 2 x 3 + 1   d x

Passo 1

A Propriedade 8 do livro diz respeito ao teorema do valor médio para integrais. O teorema diz que se temos uma função contínua num intervalo [ a ,   b ] , e essa função dentro do intervalo tem valor máximo M e valor mínimo m , então:

m b - a ≤ ∫ a b f x d x ≤ M ( b - a )

Então podemos resolver o problema encontrando os valores máximo e mínimo absoluto da função no intervalo e aplicando o teorema. Saberemos então entre que valores está a integral.

Passo 2

Temos a função f x = x 3 + 1   no intervalo 0 ,   2 e queremos achar o máximo e mínimo absolutos nesse intervalo. Vamos derivar a função para analisar o crescimento e decrescimento e veificar se tem pontos críticos:

f x = x 3 + 1 1 / 2

f ' x = 1 2 x 3 + 1 3 / 2 3 x 2 = 3 x 2 2 x 3 + 1 3 / 2

A derivada sempre existe e é sempre positiva no intervalo dado, então a função é crescente nele. Isso significa que o valor mínimo da função ocorre no início do intervalo e o valor máximo no final. Temos então os valores de m e M :

m = f 0 = 1

M = f 2 = 2 3 + 1 = 9 = 3

Aplicando então o teorema:

1 ( 2 - 0 ) ≤ ∫ 0 2 x 3 + 1   d x ≤ 3 ( 2 - 0 )

⇒ 2 ≤ ∫ 0 2 x 3 + 1   d x ≤ 6

Sabemos então que a integral está entre esses dois valores.

Resposta

2 ≤ ∫ 0 2 x 3 + 1   d x ≤ 6

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