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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 5.2 - Ex. 51

Use as propriedades de integrais para verificar a desigualdade sem calcular as integrais.

∫ 0 π / 4 sen 3 ⁡ x d x ≤ ∫ 0 π / 4 sen 2 ⁡ x d x

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Se queremos provar que uma integral calculada em um intervalo é maior que outra integral calculada no mesmo intervalo, o primeiro passo é comparar o valor das funções nesse intervalo.

Uma propriedade importantíssima de integrais diz que se temos uma função f ( x ) que é maior ou igual a uma outra função g ( x ) em um intervalo [ a ,   b ] , então:

∫ a b f x d x ≥ ∫ a b g x d x

Devemos então provar que sen 2 ⁡ x ≥ sen 3 ⁡ x no intervalo de integração, então teremos provado o que se pede.

Passo 2

Sabemos que o seno é sempre um número que tem módulo menor que um:

- 1 ≤ sen ⁡ x ≤ 1

Dentro do intervalo que estamos trabalhando, o intervalo é:

0 ≤ sin ⁡ x ≤ 1

Multiplicando todos os termos por sin 2 ⁡ x :

0 ≤ sin 3 ⁡ x ≤ sin 2 ⁡ x

Então:

sen 2 ⁡ x ≥ sen 3 ⁡ x

Com isso, fica provado que ∫ 0 π / 4 sen 3 ⁡ x d x ≤ ∫ 0 π / 4 sen 2 ⁡ x d x .

Resposta

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