Calcule a integral definida

∫ 2 - 1 3 x ( x - 4 )   d x

usando os resultados:

∫ - 1 2 x 2 d x = 3                     ∫ - 1 2 x   d x = 3 2

Passo 1

Queremos decompor a integral, a colocando em termos de ∫ - 1 2 x 2 d x e ∫ - 1 2 x d x para substituirmos pelos valores dados pelo enunciado. Para isso, precisamos lembrar de uma propriedade importantíssima das integrais:

Se as funções f e g forem integráveis no intervalo [ a , b ] então f + g será integrável no intervalo [ a , b ] e:

∫ a b f x + g x d x =   ∫ a b f x d x +   ∫ a b g x d x

Ou seja, podemos separar as funções e integrá-las uma a uma. Uma outra propriedade diz que:

∫ a b k   f x d x = k ∫ a b f x d x

Esta outra nos permite tirar um número constante de dentro da integral.

Mas perceba que temos como informações as integrais de x e de x 2 no intervalo dado, então precisamos resolver o produto 3 x ( x - 4 ) para conseguirmos os fatores x e x 2 separados, pra assim separar as integrais.

Passo 2

Primeiro vamos resolver o produto. Fazendo uma distributiva, ficamos com:

3 x x - 4 = 3 x 2 - 12 x

Então ficamos com a integral assim:

∫ 2 - 1 3 x x - 4 d x = ∫ 2 - 1 3 x 2 - 12 x d x

Agora que já temos a expressão do jeito que a gente quer, podemos separar a integral e transformá-la em uma combinação de ∫ - 1 2 x 2 d x   e   ∫ - 1 2 x d x .

Passo 3

Primeiro usamos a primeira propriedade falada no passo 1 para dividir a integral em duas:

∫ 2 - 1 3 x 2 - 12 x d x =   ∫ 2 - 1 3 x 2 d x - ∫ 2 - 1 12 x d x

Agora, tirando as constantes de dentro das integrais:

∫ 2 - 1 3 x 2 d x - ∫ 2 - 1 12 x d x = 3 ∫ 2 - 1 x 2 d x - 12 ∫ 2 - 1 x d x

Mas agora temos um outro problema: o enunciado nos dá as integrais de x e x 2 indo de -1 a 2, mas nós temos na nossa expressão ∫ 2 - 1 x d x e ∫ 2 - 1 x 2 d x , ou seja, com limites de integração indo de 2 a -1. É como se estivéssemos “integrando ao contrário”. Uma outra propriedade diz que:

∫ a b f x d x =   - ∫ b a f x d x

Ou seja, quando “integramos ao contário”, o resultado é multiplicado por -1. Então, o nosso resultado fica:

3 ∫ 2 - 1 x 2 d x - 12 ∫ 2 - 1 x d x = 3 ( - ∫ - 1 2 x 2 d x ) - 12 ( - ∫ - 1 2 x d x )

= - 3 ∫ - 1 2 x 2 d x + 12 ∫ - 1 2 x d x

Já temos então o que queríamos, basta resolver o resto por substituição direta dos dados do problema.

Passo 4

Usando os dados do problema e substituindo, chegamos no resultado final

- 3 ∫ - 1 2 x 2 d x + 12 ∫ - 1 2 x d x = - 3 ⋅ 3 + 12 ⋅ 3 2 = - 9 + 36 2

= - 9 + 13 = 4 .

Resposta

∫ 2 - 1 3 x x - 4 d x = 4

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