Calcule ∫ 1 1 1 + x 4   d x .

Passo 1

Beleza, pessoal! Vamos encarar essa integral. A expressão 1 + x 4 ​ parece complicada, né? Normalmente, calcular a sua integral dá um baita trabalho.

Antes de surtar, presta atenção nisso: ao calcular uma integral definida, uma das primeiras coisas que temos que observar são os limites de integração. Neste problema, estamos integrando de 1 até 1 .

Mas o que isso quer dizer? Vamos por partes!

Passo 2

Pensa comigo: calcular a área sob uma curva de um ponto até o mesmo ponto é impossível, porque não existe "comprimento", certo? Então, a integral de p até p é sempre zero.

Em termos matemáticos, na definição da integral ∫ a b f x   d x como o limite de uma soma de Riemman, fazemos o seguinte:

  1. Dividimos o intervalo [ a , b ] em n intervalos de comprimento Δ x = b - a n .
  2. Escolhemos pontos x i * em cada um dos intervalos.
  3. A integral então é dada pelo limite

∫ a b f ( x ) d x = lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i * ) Δ x .

Mas o que será que acontece se a = b ? Neste caso,

Δ x = b - a n = 0 ,

e a soma dos termos é sempre zero. Portanto, a integral também é zero.

Passo 3

Aplicando o que vimos no Passo 2 ao nosso problema,

∫ 1 1 1 + x 4 d x = 0 .

Viu como é simples? Apesar da função ser complicada, os limites de integração sendo iguais a tarefa se torna bem simples. Não precisa perder muito tempo com questões como essa das próximas vezes, combinado?

Resposta

Como o limite inferior e superior da integral são o mesmo, vale que a integral é 0 :

∫ 1 1 1 + x 4 d x = 0 .

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