Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 5.2 - Ex. 60
Use a Propriedade 8 para estimar o valor da integral.
Passo 1
A Propriedade 8 do livro diz respeito ao teorema do valor médio para integrais. O teorema diz que se temos uma função contínua num intervalo , e essa função dentro do intervalo tem valor máximo e valor mínimo , então:
Então podemos resolver o problema encontrando os valores máximo e mínimo absoluto da função no intervalo e aplicando o teorema. Saberemos então entre que valores está a integral.
Passo 2
Temos a função no intervalo e queremos achar o máximo e mínimo absolutos nesse intervalo. Vamos derivar a função para analisar o crescimento e decrescimento e veificar se tem pontos críticos:
A derivada sempre existe, então vamos procurar os pontos críticos onde ela é igual a zero. No nosso intervalo temos , e o valor de que zera a derivada pode ser encontrado:
Agora comparamos o valor nesse possível extremo e no início e final do intervalo:
Com isso, podemos dizer que o valor mínimo da função no intervalo é e p valor máximo é . A função cresce de até e depois volta de novo para . Agora que temos e , basta aplicar o teorema.
Passo 3
Aplicando então o teorema:
Sabemos então que a integral está entre esses dois valores.