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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 6.2 - Ex. 10

Nos exercícios de 1 a 10 , calcular a integral e, em seguida, derivar as respostas para conferir os resultados.

∫ x 5 + 2 x 2 - 1 x 4 d x

Passo 1

Pra resolver essas integrais de polinômio, o que a gente aprendeu é que:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C

Ou seja, a integral de uma potência de x de um certo grau vai ser o x , com o grau aumentado em 1 , dividido por esse grau novo. Sacou? Isso só não serve pra quando o grau original era - 1 , porque aí o n + 1 dá 0 , e isso dá ruim, já que dividir por 0 é um crime!

Passo 2

Separando a integral:

∫ x 5 + 2 x 2 - 1 x 4 d x = ∫ x 5 x 4 d x + ∫ 2 x 2 x 4 d x + ∫ - 1 x 4 d x

Ajeitando:

∫ x 5 + 2 x 2 - 1 x 4 d x = ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x - ∫ x - 4 d x

Aplicando o que a gente aprendeu em cada integral:

∫ x 5 + 2 x 2 - 1 x 4 d x = x 1 + 1 1 + 1 + 2 x - 2 + 1 - 2 + 1 - x - 4 + 1 - 4 + 1 + C

Arrumando,

∫ x 5 + 2 x 2 - 1 x 4 d x = x 2 2 - 2 x + 1 3 x 3 + C

Prontinho!

Passo 3

Agora vamos derivar a resposta. Separando::

d d x x 2 2 - 2 x + 1 3 x 3 + C = d d x x 2 2 + d d x - 2 x + d d x 1 3 x 3 + d d x C

Derivando,

d d x x 2 2 - 2 x + 1 3 x 3 + C = 2 x 2 + 2 x 2 - 3 3 x 4 + 0

Arrumando,

d d x x 2 2 - 2 x + 1 3 x 3 + C = x + 2 x 2 - 1 x 4

d d x x 2 2 - 2 x + 1 3 x 3 + C = x 5 + 2 x 2 - 1 x 4

Resposta

∫ x 5 + 2 x 2 - 1 x 4 d x = x 2 2 - 2 x + 1 3 x 3 + C

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Calcule a integral definida ∫ - 1 2 ( 5 x 2 + 1 3 x - 1 2 )d x usando os resultados: ∫ - 1 2 x 2 d x = 3 ∫ - 1 2 xd x = 3 2
Aplique o Teorema 5.6.9 para encontrar um intervalo fechado contendo a integral definida dada: ∫ - 3 6 3 + xd x (Teorema dado no livro)
Mostre que se f for contínua em [ - 3,4 ] , então: ∫ 3 - 1 f x d x + ∫ 4 3 f x d x + ∫ - 3 4 f x d x + ∫ - 1 - 3 f x d x = 0
Prove que o Teorema 5.6.7 é válido para a ordenação dada: bac (Teorema dado no livro).
Prove que o Teorema 5.6.7 é válido para a ordenação dada: ac = b (Teorema dado no livro).