Aplique o Teorema 5.6.9 para encontrar um intervalo fechado contendo a integral definida dada:

∫ - 5 2 x + 5 x - 3   d x

(Teorema dado no livro)

Passo 1

O Teorema apresentado na questão diz que se temos uma função f x com máximo M e mínimo m dentro de um intervalo [ a ,   b ] , o valor de ∫ a b f x d x estará entre m ( b - a ) e M ( b - a ) . O que queremos então é encontrar os valores máximo e mínimo da função f x = x + 5 x - 3 no intervalo [ - 5 ,   2 ] para então aplicar o teorema e saber entre que valores está a integral.

Passo 2

Pra acharmos os valores máximo e mínimo da função no intervalo, precisamos primeiro procurar os pontos críticos da função no intervalo. Derivando f ( x ) , temos:

f ' x = x + 5 ' ⋅ x - 3 - x - 3 ' ⋅ x + 5 x - 3 2 = 1 x - 3 - 1 x + 5 x - 3 2

= x - 3 - x - 5 x + 2 2 = - 8 x - 3 2

Teremos um ponto crítico quando f ' ( x ) for igual a zero ou não existir. A expressão de f ' ( x ) nunca zera, mas não existe quando o denominador é 0, ou seja, para x = 3 . Mas como esse número está fora do nosso intervalo, não o consideramos. Não temos então pontos críticos da função em [ - 5,2 ] .

Além disso, f ' x é sempre negativo, então nossao função é estritamente decrescente. Fica claro então que seu máximo acontece no início do intervalo, com M = f - 5 = - 5 + 5 - 5 - 3 = 0 e seu mínimo acontece no final, m = f 2 = 2 + 5 2 - 3 = 7 - 1 = - 7 .

Agora que já temos os valores mínimo e máximo da função no intervalo [-5,2], podemos aplicar o teorema.

Passo 3

Aplicando diretamente o teorema, tendo a , b = [ - 5 ,   2 ] , m = - 7 e M = 0 , sabemos então que:

m 2 - ( - 5 ) ≤   ∫ - 5 2 x + 5 x - 3   d x ≤ M 2 - ( - 5 )

⇒ - 7 ⋅ ( 2 + 5 ) ≤ ∫ - 5 2 x + 5 x - 3   d x ≤ 0 ⋅ ( 2 + 5 )

⇒ - 49 ≤ ∫ - 5 2 x + 5 x - 3   d x ≤ 0

Resposta

∫ - 5 2 x + 5 x - 3   d x ∈ [ - 49 ,   0 ]

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