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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 6.2 - Ex. 26

Nos exercícios de 11 a 31, calcular as integrais indefinidas.

26. ∫ 8 t - 2 6 t + 1 2 3 3 d t

Passo 1

Queremos integrar a função f x =   8 t - 2 6 t + 1 2 3 3 .

Passo 2

Podemos simplificar a integral para que fique mais fácil de integrar da seguinte forma:

∫ 8 t - 2 6 t + 1 2 3 3 d t = ∫ 2 t - 2 2 t + 1 2 d x

∫ 2 t - 2 2 t + 1 2 d x = ∫ 2 t 2 - 4 t + 4 t + 1 2 d x

∫ 2 t 2 - 4 t + 4 t + 1 2 d x = 2 ∫ t 3 + 1 2 t 2 - 4 t 2 - 2 t + 4 t + 2 d x

2 ∫ t 3 + 1 2 t 2 - 4 t 2 - 2 t + 4 t + 2 d x = 2 ∫ t 3 - 7 2 t 2 + 2 t + 2 d x

Sabendo que a integral da soma é a soma das integrais, temos:

2 ∫ t 3 - 7 2 t 2 + 2 t + 2 d x = 2 ∫ t 3 d   x - 7 ∫ t 2   d x + 4 ∫ t   d x + 4 ∫ d x

Podemos agora resolver as integrais separadamente.

2 ∫ t 3 d   x = 2 ⋅ t 4 4 = 1 2 t 4

- 7 ∫ t 2   d x = - 7 ⋅ t 3 3 = - 7 3 t 3

4 ∫ t   d x = 4 ⋅ t 2 2 = 2 t 2

4 ∫ d x = 4 t

Temos então que:

∫ 8 t - 2 6 t + 1 2 3 3 d t = 1 2 t 4 - 7 3 t 3 + 2 t 2 + 4 t + c

Resposta

∫ 8 t - 2 6 t + 1 2 3 3 d t = 1 2 t 4 - 7 3 t 3 + 2 t 2 + 4 t + c

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