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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.4 - Ex. 14

Nos Exercícios 5-14, utilize o teorema de Green para encontrar a circulação em sentido anti-horário e o fluxo exterior para o campo F e a curva C.

F = t g - 1 ⁡ y x i + l n ⁡ x 2 + y 2 j

C : A fronteira da região definida pelas desigualdades em coordenadas polares 1 ≤ r ≤ 2,0 ≤ θ ≤ π .

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Definimos circulação em sentido anti-horário de F → ao redor do caminho C como sendo ∮   C F → ⋅ T → d s = ∮   C M d x + N d y = ∬ R   ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x d y (de acordo com o teorema 5, página 398) e o fluxo exterior de F → = M i → + N j → através de C como sendo a integral dupla do d i v ⁡ F → sobre a região R delimitada por C , ∮   C F → ⋅ n ‾ d s = ∮   C M d y - N d x = ∬ R   ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y d x d y (de acordo com o teorema 4, página 397).

Passo 2

Sendo o campo vetorial F → = t a n - 1 ⁡ x y i → + l n ⁡ x 2 + y 2 j → atuando sobre a região limitada por C : 1 ≤ r ≤ 2 e 0 ≤ θ ≤ π Encontremos M e N : M = t a n - 1 ⁡ x y e N = l n ⁡ x 2 + y 2 Suas derivadas parciais serão: ∂ M ∂ x = - y x 2 + y 2 , ∂ M ∂ y = x x 2 + y 2 e ∂ N ∂ x = 2 x x 2 + y 2 , ∂ N ∂ y = 2 y x 2 + y 2

Passo 3

Para calcularmos a circulação no sentido anti-horário substituimos ∂ N ∂ x = 2 x x 2 + y 2 e ∂ M ∂ y = x x 2 + y 2 em ∬ R   ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x d y e resolvemos a integral dupla, como segue:

  ∬ R     2 x x 2 + y 2 - x x 2 + y 2 d x d y = ∫ 0 π     ∫ 1 2     r d r d θ   = ∫ 0 π     ∫ 1 2     r c o s ⁡ θ r 2 r d r d θ = ∫ 0 π     c o s ⁡ θ d θ = 0

Passo 4

Para calcularmos o fluxo exterior substituimos ∂ M ∂ x = - y x 2 + y 2 e ∂ N ∂ y = 2 y x 2 + y 2 e m ∬ R   ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y d x d y e resolvemos a integral dupla, como segue:

  ∬ R     ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y d x d y = ∬ R     - y x 2 + y 2 + 2 y x 2 + y 2 d x d y   = ∫ 0 π     ∫ i 2     r s e n ⁡ θ r 2 r d r d θ = ∫ 0 π     s e n ⁡ θ d θ = 2

Resposta

Assim, a circulação de F → através de C é zero e o fluxo exterior de F → através de C é 2

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Nos Exercícios 1-4, verifique a conclusão do teorema de Green calculando ambos os lados das Equações 3 e 4 para o campo F = M i + N j . Tome os domínios de integração em cada caso como sendo o disco R
Aplique o teorema de Green para calcular as integrais nos Exercí-cios 21-24 ∮ C y 2 d x + x 2 d y C: O triângulo limitado por x = 0 , x + y = 1 , y = 0 .
Encontre o fluxo exterior do campo F = 3 x y - x 1 + y 2 i + e x + t g - 1 ⁡ y j através da cardioide r = a ( 1 + c o s ⁡ θ ) , a0 .
Encontre a circulação em sentido anti-horário de F = (y + ex ln y)i+ (ex/y)j ao redor da fronteira da região que está delimitada superiormente pela curva y = 3 – x2 e inferiormente pela curvay = x4 +
Encontre a circulação em sentido anti-horário e o fluxo exterior do campo F = (–sen y)i + (x cos y)j ao redor e sobre oquadrado cortado do primeiro quadrante pelas retas x = p/2 ey = p/2.