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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.4 - Ex. 5

Nos Exercícios 5-14, utilize o teorema de Green para encontrar a circula-

ção em sentido anti-horário e o fluxo exterior para o campo F e a curva C.

F = ( x - y ) i + ( y - x ) j

C : O quadrado limitado por x = 0 , x = 1 , y = 0 , y = 1 .

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para resolver este exercício é importante saber duas definições. Veja a seguir.De acordo com o teorema 5, página 398 , definimos circulação em sentido anti-horário de F → ao redor do caminho C como sendo

∮     C F → ⋅ T → d s = ∮     C M d x + N d y = ∬ R   ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x x y .

De acordo com o teorema 4, página 397, definimos fluxo exterior de F → através de C como sendo a integral dupla do d i v ⁡ F → sobre a região R delimitada por C ,

∮     C F → ⋅ n → d s = ∮     C M d y - N d x = ∬ R   ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y d x d y .

Passo 2

Observe! Sendo o campo vetorial F → = ( x - y ) i → + ( y - x ) j → atuando sobre a região limitada por C : x = 0 , x = 1 , y = 0 , y = 1 ,Agora, você vai encontrar M e N : M = x - y e N = y - x Assim, suas derivadas parciais serão: ∂ M ∂ x = 1 , ∂ M ∂ y = - 1 e ∂ N ∂ x = - 1 , ∂ N ∂ y = 1

Passo 3

Dessa forma, para calcularmos a circulação no sentido anti-horário substituimos ∂ N ∂ x = - 1 e ∂ M ∂ y = - 1 em ∭ R   ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x x y e resolvemos a integral dupla, como segue:

∬ R   ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x x y = ∬ R   [ - 1 - ( - 1 ) ] d x d y = 0

Passo 4

Dessa forma, para calcularmos o fluxo exterior substituimos ∂ M ∂ x = 1 e ∂ N ∂ y = 1 e m ∬ R   ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y d x d y e resolvemos a integral dupla, como segue:

∬ R   ∂ N ∂ x + ∂ M ∂ y d x d y = ∬ R   [ 1 + ( 1 ) ] d x d y = ∫ 0 1   ∫ 0 1   2 d x d y = 2

Resposta

Resposta nos passos.

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