Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.4 - Ex. 2b
Calcule a integral de linha por dois métodos: a) diretamente e b) utilizando o Teorema de Green.
C é o círculo com centro na origem e raio 1.
Passo 1
Olá, tudo bem? Vamos ver o que a questão quer.
Na letra a), ele queria que a gente calculasse a integral de linha
Usando a definição, onde é a linha de um círculo com centro na origem e raio 1. Ou seja,
Agora nessa letra b), teremos que utilizar o Teorema de Green
Que diz que podemos transformar uma integral de linha em uma integral dupla utilizando a relação acima.
Onde, na integral de linha é tudo que está ao lado de , é tudo que está ao lado de e é o contorno da curva. Nesse caso a circunferência!
E na integral dupla que vamos fazer, é o interior da curva que precisa estar orientada positivamente que nessa questão é o círculo!
É a derivada parcial de em relação à ,
É a derivada parcial de em relação à e
E por que faríamos isso?
Bem, essa integral de linha não é muito complicada de resolver, mas existem outras que são quase impossíveis de resolver pela definição. Nesses casos, o teorema facilita muito nossa vida.
Portanto, como essa resolução é da letra b) Vamos usar o Teorema de Green!
Primeiro, identificaremos e e calcularemos suas derivas parciais, depois montaremos a integral com elas, analisaremos a região e calcularemos a integral.
Partiu?
Passo 2
Nosso primeiro passo é obter e . A integral de linha é:
Sendo tudo que acompanha e tudo que acompanha , temos
e
Calculando em relação à :
Calculando em relação à :
Portanto,
Passo 3
Agora montaremos a integral. Temos
Substituindo o que achamos no passo anterior:
E lembrando que
Como temos
Isso é a mesma coisa que a área de multiplicado por !
Lembra que a área também pode ser calculada desse jeito?
E temos
Que é a mesma coisa que
Portanto, como a nossa região D é um círculo completo com raio .
Prontinho!