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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.4 - Ex. 13

Nos Exercícios 5-14, utilize o teorema de Green para encontrar a circulação em sentido anti-horário e o fluxo exterior para o campo F e a curva C.

F = x + e x s e n ⁡ y i + x + e x c o s ⁡ y j

C : O laço direito da lemniscata r 2 = c o s ⁡ 2 θ .

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Definimos circulação em sentido anti-horário de F → ao redor do caminho C como sendo ∮   C F → ⋅ T → d s = ∮   C M d x + N d y = ∬ R   ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x d y (de acordo com o teorema 5, página 398) e o fluxo exterior de F → = M i → + N j → através de C como sendo a integral dupla do div F → sobre a região R delimitada por C , ∮   C F → ⋅ n → d s = ∮   C M d y - N d x = ∬ R   ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y d x d y (de acordo com o teorema 4, página 397).

Passo 2

Sendo o campo vetorial F → = x + e x s e n ⁡ y i → + x + e x c o s ⁡ y j → atuando sobre a região limitada por C : r 2 = c o s ⁡ 2 θ , com 0 ≤ r ≤ c o s ⁡ 2 θ , - π 4 ≤ θ ≤ π 4 Encontremos M e N : M = x + e x s e n ⁡ y e N = x + e x c o s ⁡ y Suas derivadas parciais serão: ∂ M ∂ x = 1 + e x s e n ⁡ y , ∂ M ∂ y = e x c o s ⁡ y e

∂ N ∂ x = 1 + e x c o s ⁡ y , ∂ N ∂ y = - e x s e n ⁡ y

Passo 3

Para calcularmos a circulação no sentido anti-horário substituimos ∂ N ∂ x = 1 + e x c o s ⁡ y e ∂ M ∂ y = e x c o s ⁡ y em ∬ R   ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x d y e resolvemos a integral dupla, como segue:

  ∬ R     ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x d y = ∭ R     1 + e x c o n s y - e x c o s ⁡ y d x d y   = ∬ R     1 d x d y = ∫ - π / 4 π / 4     ∫ 0 c o s ⁡ 2 θ     r d r d θ = ∫ - π / 4 π / 4     1 2 c o s ⁡ 2 θ d θ = 1 2

Passo 4

Para calcularmos o fluxo exterior substituimos ∂ M ∂ x = 1 + e x seny e ∂ N ∂ y = - e x seny em ∬ R   ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y d x d y e resolvemos a integral dupla, como segue:

  ∬ R     ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y d x d y = ∬ R     1 + e x s e n ⁡ y - e x s e n ⁡ y d x d y   = ∫ - π / 4 π / 4     ∫ 0 c o s ⁡ 2 θ     r d r d θ = ∫ - π / 4 π / 4     1 2 c o s ⁡ 2 θ d θ = 1 2

Resposta

Assim, a circulação de F → através de C é 1 2 e o fluxo exterior de F → através de C é 1 2 .

Exercícios de Livros Relacionados

15. Dado o campo vetorial f → = y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2 , mostrar que ∮ C f → ⋅ d r → = 0 para toda curva fechada simples C, suave por partes, que circunda a origem.
12. Calcular a área da elipse x = 6 c o s theta , y = 2 s e n theta .
8. oint_C vec f * d vec r , onde vec f = ( x^2 + 4 x y , 2 x^2 + 2 x + y^2 ) e C é a elipse x^2 + 4 y^2 = 16 , no sentido anti-horário
Nos exercícios 1 a 11, calcular as integrais curvilíneas dadas usand o teorema de Green.4. ∮ C - 2 x 2 y d x + 8 - ln ⁡ y + 2 d y , ao longo do paralelogramo de vértices (0,0), (2,0), (3,2) e (0,2), n
7. ∮ C f → ⋅ d r → , onde f → = ( y , 0 ) e C é o triângulo de vértices A(0,1), B(3,1) e C(2,2), no sentido horário.