Enunciado
Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 8.1 - Ex. 10
Seja de classe em e tal que em . Seja o conjunto e . Sejam e de classe em um aberto contendo . Prove que
Onde é a fronteira de orientada no sentido anti-horário
Passo 1
Vamos tentar provar que
e
Sugestão: Olhe o exercício 9. É a mesma coisa, só que mais chato hahaha
Passo 2
Vamos primeiro mostrar nossa relação para
Vamos resolver o primeiro termo. Tome , na qual
Onde o intervalo de é invertido dos demais devido ao sentido anti-horário.
Desta forma
E o sinal negativo vem, pois invertemos o sentido do terceiro termo.
Agora o termo da direita
Que pelo teorema fundamental do calculo é
E agora invertendo e transformando , temos
Ou seja
Passo 3
Agora vamos mostrar que
Na qual também seguiremos fazendo , na qual
Onde o intervalo de é invertido dos demais devido ao sentido anti-horário.
Desta forma
E assim ficamos com
E o sinal negativo vem, pois invertemos o sentido do terceiro termo.
Agora o termo da direita
Que pelo teorema fundamental do calculo é
Faça assim, troque e inverta o intervalo de integração.
Ou seja
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)