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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 8.1 - Ex. 10

Seja y = f ( x ) de classe C 1 em a , b e tal que f ' x < 0 em ] a , b [ . Seja K o conjunto a ≤ x ≤ b e f x ≤ y ≤ f a . Sejam P e Q de classe C 1 em um aberto contendo K . Prove que

∮ γ P d x + Q d y = ∬ K ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d x d y

Onde γ é a fronteira de K orientada no sentido anti-horário

Passo 1

Vamos tentar provar que

∫ γ P d x = - ∬ K ∂ P ∂ y d y d x

e

∫ γ Q d y = ∬ K ∂ Q ∂ x d x d y

Sugestão: Olhe o exercício 9. É a mesma coisa, só que mais chato hahaha

Passo 2

Vamos primeiro mostrar nossa relação para

∫ γ P d x = - ∬ K ∂ P ∂ y d y d x

Vamos resolver o primeiro termo. Tome γ = γ 1 + γ 2 + γ 3 , na qual

γ 1 t = t , f t ,     a ≤ t ≤ b

γ 2 t = b , f t ,     b ≤ t ≤ a

γ 3 t = t , f ( a ) ,     b ≤ t ≤ a

Onde o intervalo de γ 3 é invertido dos demais devido ao sentido anti-horário.

Desta forma

∫ γ P d x = ∫ a b P t , f t   d t + ∫ b a P b , f t ⋅ 0 + ∫ b a P t , f a   d t

= ∫ a b P t , f t - P t , f a d t

E o sinal negativo vem, pois invertemos o sentido do terceiro termo.

Agora o termo da direita

- ∬ K ∂ P ∂ y d y d x = - ∫ a b ∫ f x f a ∂ P ∂ y d y d x

Que pelo teorema fundamental do calculo é

- ∫ a b P x , f a - P x , f x   d x

E agora invertendo e transformando x = t , temos

∫ a b P t , f t - P t , f a d t = ∫ γ P d x

Ou seja

∫ γ P d x = - ∬ K ∂ P ∂ y d y d x

Passo 3

Agora vamos mostrar que

∫ γ Q d y = ∬ K ∂ Q ∂ x d x d y

Na qual também seguiremos fazendo γ = γ 1 + γ 2 + γ 3 , na qual

γ 1 t = g ( t ) , t ,     f ( a ) ≤ t ≤ f ( b )

γ 2 t = b , t ,     f b ≤ t ≤ f a

γ 3 t = g ( t ) , f a ,     f ( b ) ≤ t ≤ f a

Onde o intervalo de γ 3 é invertido dos demais devido ao sentido anti-horário.

Desta forma

∫ γ Q d y = ∫ f ( a ) f ( b ) Q g t , t ⋅ d t + ∫ f ( b ) f ( a ) Q b , t ⋅   d t + ∫ f ( b ) f ( a ) Q g t , f a ⋅   0

E assim ficamos com

∫ f ( a ) f ( b ) Q g t , t - Q b , t ⋅ d t

E o sinal negativo vem, pois invertemos o sentido do terceiro termo.

Agora o termo da direita

∬ K ∂ Q ∂ x d x d y = ∫ f b f a ∫ g y b ∂ Q ∂ x x , y   d x d y

Que pelo teorema fundamental do calculo é

∫ f ( b ) f ( a ) Q b , y - Q g y , y   d y

Faça assim, troque y = t e inverta o intervalo de integração.

- ∫ f a f b P b , t - P g t , t d t = ∫ f ( a ) f ( b ) P g ( t ) , t - P b , t d t = ∫ γ Q d y

Ou seja

∫ γ Q d y = ∬ K ∂ Q ∂ x d x d y

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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