Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.4 - Ex. 6

Nos Exercícios 5-14, utilize o teorema de Green para encontrar a circulação em sentido anti-horário e o fluxo exterior para o campo F e a curva C.

F = (x2 + 4y)i + (x + y2)j

C: O quadrado limitado por x = 0, x = 1, y = 0, y = 1

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para resolver este exercício é importante saber duas definições. Veja a seguir.De acordo com o teorema 5, página 398, definimos circulação em sentido anti-horário de F → ao redor do caminho C como sendo

∮     C F → ⋅ T → d s = ∮     C M d x + N d y = ∬ R   ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x x y

De acordo com o teorema 4, página 397, definimos fluxo exterior de F → através de C como sendo a integral dupla do divF sobre a região R delimitada por C ,

∮     C F → ⋅ n → d s = ∮     C M d y - N d x = ∬ R   ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y d x d y .

Passo 2

Observe! Sendo o campo vetorial F → = x 2 + 4 y i → + x + y 2 j → atuando sobre a região limitada por C : x = 0 , x = 1 , y = 0 , y = 1 ,Agora, você vai encontrar M e N : M = x - y e N = y - x Assim, suas derivadas parciais serão: ∂ M ∂ x = 2 x , ∂ M ∂ y = 4 e ∂ N ∂ x = 1 , ∂ N ∂ y = 2 y

Passo 3

Dessa forma, para calcularmos a circulação no sentido anti-horário substituimos ∂ N ∂ x = 1 e ∂ M ∂ y = 4 em ∬ R   ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x x y e resolvemos a integral dupla, como segue:

∬ R   ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x x y = ∬ R   [ 1 - 4 ] d x d y = ∫ 0 1   ∫ 0 1   - 3 d x d y = - 3

Passo 4

Dessa forma, para calcularmos o fluxo exterior substituimos ∂ M ∂ x = 2 x e ∂ N ∂ y = 2 y e m ∬ R   ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y d x d y e resolvemos a integral dupla, como segue:

∬ R   ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y d x d y = ∬ R   [ 2 x + 2 y ] d x d y = ∫ 0 1   ∫ 0 1   ( 2 x + 2 y ) d x d y = ∫ 0 1   x 2 + 2 x y 0 1 = y + y 2 0 1 = 2

Resposta

Resposta nos passos.

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule as seguintes integrais, ao longo das curvas C , orientadas positivamente.f. ∮ C x + y d x + y - x d y C é a circunferência x 2 + y 2 - 2 a x = 0
Calcule as seguintes integrais, ao longo das curvas C , orientadas positivamente.h. ∮ C 2 x - y d x + x + 3 y d y C é a fronteira do pentágono de vértices 0,0 , 0,2 , 1,3 , 2,2 , 2,0
Calcule as seguintes integrais, ao longo das curvas C , orientadas positivamente.g. ∮ C 2 x - y 3 d x + - x y d y C é a fronteira da região limitada pelas curvas x 2 + y 2 = 4 x 2 + y 2 = 9
a) Mostre que a área de uma região fechada e limitada D do plano x y pode ser obtida através da seguinte integral de linha á r e aD = ∮ ∂ D xd y á
Seja F x , y = - y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2 + 3 x um campo vetorial em R 2 . Calcule a integral de linha do campo F ao longo das curvas C 1 e C 2 , orientadas no sentido anti-horário, onde: C 1 é a cir