Seja de classe em e tal que em . Seja o conjunto e . Sejam e de classe num aberto contendo . Prove que

Onde é a fronteira de orientada no sentido anti-horário.

Sugestão:

onde é a inversa de

Vamos primeiro mostrar nossa relação para

Vamos resolver o primeiro termo. Tome , na qual

Onde o intervalo de é invertido dos demais devido ao sentido anti-horário.

Desta forma

E o sinal negativo vem, pois invertemos o sentido do terceiro termo.

Agora o termo da direita

Que pelo teorema fundamental do calculo é

E agora invertendo e transformando , temos

Ou seja

Agora vamos mostrar que

Na qual também seguiremos fazendo , na qual

Onde o intervalo de é invertido dos demais devido ao sentido anti-horário.

Desta forma

E assim ficamos com

E o sinal negativo vem, pois invertemos o sentido do terceiro termo.

Agora o termo da direita

Que pelo teorema fundamental do calculo é

Faça assim, troque .

Ou seja