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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 6.5 - Ex. 2

Seja C uma curva fechada, orientada positivamente, limitando uma região do plano x y , de área A . Verifique que se a 1 ,   a 2 ,   a 3 , b 1 , b 2 ,   b 3 são constantes reais, então

∮ a 1 x + a 2 y + a 3 d x + b 1 x + b 2 y + b 3 d y = b 1 - a 2 A

Passo 1

Essa questão pode parecer um pouco assustadora à primeira vista, né?!... muitas letras, poucos números... mas veremos que se usarmos o teorema de Green, juntamente com nosso conhecimento de integrais duplas, vamos conseguir resolver bem esse problema. Então, vamos recordar alguma teoria:

  • O teorema de Green afirma que se C está orientada positivamente, então:

    • ∮ C F 1 d x + F 2   d y = ∬ D ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y   d x d y

    Assim, o teorema relaciona uma integral de linha com uma integral dupla! Para o nosso problema isso vai ser muito vantajoso!

  • Uma das principais propriedades das integrais duplas é a seguinte:

∬ D d x   d y = á r e a   d a   r e g i ã o   D

Passo 2

A integral de linha que queremos calcular é:

∮ a 1 x + a 2 y + a 3 d x + b 1 x + b 2 y + b 3 d y

Portanto, de acordo com a notação do teorema apresentado, temos:

F 1 = a 1 x + a 2 y + a 3 F 2 = b 1 x + b 2 y + b 3

Logo, temos que

∂ F 2 ∂ x = ∂ ∂ x b 1 x + b 2 y + b 3 ∂ F 2 ∂ x = ∂ ∂ x b 1 x + ∂ ∂ x b 2 y + ∂ ∂ x b 3 ∂ F 2 ∂ x = b 1 + 0 + 0 ∂ F 2 ∂ x = b 1

Temos também:

∂ F 1 ∂ y = ∂ ∂ y a 1 x + a 2 y + a 3 ∂ F 1 ∂ y = ∂ ∂ y a 1 x + ∂ ∂ y a 2 y + ∂ ∂ y a 3 ∂ F 1 ∂ y = 0 + a 2 + 0 ∂ F 1 ∂ y = a 2

Passo 3

Tendo os valores das derivadas em mãos, podemos usar o teorema de Green:

∮ F 1 d x + F 2 d y = ∬ D ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y   d x d y ∮ a 1 x + a 2 y + a 3 d x + b 1 x + b 2 y + b 3 d y = ∬ D b 1 - a 2   d x d y

Porém, b 1 - a 2 é uma constante! Sendo assim, temos que:

∬ D b 1 - a 2   d x d y = b 1 - a 2 ∬ D d x   d y = b 1 - a 2 A

onde usamos a propriedade citada acima das integrais duplas!!!

Viu, como o teorema de Green pode nos poupar muito trabalho?

Resposta

Veja a demonstração acima.

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