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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.2 - Ex. 39

(a)Prove que lim x → 0 ⁡ e - 1 x 2 x n = 0 para todo n inteiro positivo. (b) se f x = e - 1 x 2 , use o resultado de (a) para provar que os limites de f , e todas as suas derivadas , são 0 para x tendendo a 0.

Passo 1

  1. Vejamos que lim x → a ⁡ f x g x = lim x → a ⁡ f x lim x → a ⁡ g x , então:

    2. lim x → 0 ⁡ e -   1 x 2 x n = e ln ⁡ lim x → 0 ⁡ e -   1 x 2 x n

    Passo 2

    Para calcular ln ⁡ lim x → 0 ⁡ e -   1 x 2 x n , usaremos que, como ln|x| é uma função contínua, ln ⁡ lim x → a ⁡ f x = lim x → a ⁡ ln ⁡ f x , logo:

    lim x → 0 ⁡ ln ⁡ e -   1 x 2 x n = l i m x → 0   ln ⁡ e -   1 x 2 - n ln ⁡ x = l i m x → 0 - 1 x 2 - n   l n x = l i m x → 0 - 1 x 2 - n x l n x x =

    = l i m x → 0 - 1 x 2 + l i m x → 0 - n x l n x x

    Passo 3

    Usando que l i m x → 0 l n x x = 0 , temos que:

    l i m x → 0 - 1 x 2 + l i m x → 0 - n x l n x x = l i m x → 0 - 1 x 2 - n . 0.0 → lim x → 0 ⁡ ln ⁡ e -   1 x 2 x n = - ∞

    Logo, lim x → 0 ⁡ e -   1 x 2 x n = e - ∞ = 0

    Passo 4

  2. Vejamos que lim x → 0 ⁡ e - 1 x 2 = e - ∞ = 0 .

Derivando f x = e - 1 x 2 , teremos:

f ' x = 2 e - 1 x 2 x 3

f ' ' x = 4 e - 1 x 2 x 6

...

f n ' x = 2 n e - 1 x 2 x 3 n

f n ' x = 2 n e - 1 x 2 x 3 n → lim x → 0 ⁡ f ' ( x ) = lim x → 0 ⁡ 2 n e - 1 x 2 x 3 n = 2 n lim x → 0 ⁡ e - 1 x 2 x 3 n

Passo 2

Pelo exercício da letra (a), temos que lim x → 0 ⁡ e - 1 x 2 x 3 n = 0 . Logo, f n ' x = 0   ∀   n .

Resposta

Demonstração

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