Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.8 - Ex. 34
34. Ache a menor distância do ponto a um ponto sobre a parábola , e ache o ponto sobre a parábola que seja o mais próximo de . Então, mostre que está sobre a reta normal da parábola em .
Passo 1
Primeiro, vamos minimizar a distância do ponto e depois tratamos do ponto .
Passo 2
Vamos chamar de o quadrado da distância da origem até o ponto até um ponto na parábola.
Então
Como o ponto está na parábola, podemos substituir :
Passo 3
Queremos a menor distância, então derivamos :
Vamos avaliar...
Para , e para , . E , que é um ponto de mínimo!
Passo 4
A distância mínima será Para , , então temos o ponto
Para uma reta normal à parábola num ponto , vamos derivar , que dá , coeficiente angular 2.
Então temos o segmento até com coeficiente angular
O macete agora é que se 2 retas são perpendiculares, seus coeficientes angulares e obedecem a relação:
Como os coeficientes atendem essa relação, mostramos que o ponto fica numa reta perpendicular à parábola dada em .
Resposta
A menor distância é , ponto .