34. Ache a menor distância do ponto A 2 , 1 2 a um ponto sobre a parábola y = x 2 , e ache o ponto B sobre a parábola que seja o mais próximo de A . Então, mostre que A está sobre a reta normal da parábola em B .

A menor distância é 5 2 , ponto P ( 1,1 ) .

Enunciado

Primeiro, vamos minimizar a distância do ponto e depois tratamos do ponto .

Vamos chamar de o quadrado da distância da origem até o ponto até um ponto na parábola.

Então

Como o ponto está na parábola, podemos substituir :

Queremos a menor distância, então derivamos :

Vamos avaliar...

Para , e para , . E , que é um ponto de mínimo!

A distância mínima será Para , , então temos o ponto

Para uma reta normal à parábola num ponto , vamos derivar , que dá , coeficiente angular 2.

Então temos o segmento até com coeficiente angular

O macete agora é que se 2 retas são perpendiculares, seus coeficientes angulares e obedecem a relação:

Como os coeficientes atendem essa relação, mostramos que o ponto fica numa reta perpendicular à parábola dada em .

A menor distância é , ponto .