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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.5 - Ex. 22

Aproxime a área da superfície usando a Fórmula (2) com n = 20 subintervalos de mesmo comprimento. Arredonde sua resposta para duas casas decimais.

A superfície do Exercício 16.

Passo 1

A superfície em questão é gerada pela rotação de y = e x , com 1 < y < e , em torno do eixo y .

E a fórmula que o enunciado pede para usarmos é:

S ≈ ∑ k = 1 n π f x k - 1 + f x k Δ x k 2 + f x k - f x k - 1 2

Só que essa fórmula só serve para rotação em torno do eixo x . Vamos precisar dar uma modificada nela colocando x no lugar de y e vice-versa:

S ≈ ∑ k = 1 n π f y k - 1 + f y k Δ y k 2 + f y k - f y k - 1 2

Passo 2

E como a gente usa essa fórmula aí?

Primeiro, identificamos quem é f ( y ) . Temos que:

y = e x ∴ x = I n ( y )

Logo:

x = f y = s e n   y

E podemos dizer que:

y k + 1 = y k + Δ y k

Onde Δ y k é o nosso subintervalo. Como teremos 20 e eles precisam ser iguais, podemos dividir todo o intervalo por 20 .

Δ y k = e - 1 20

Belezinha.

Passo 3

Agora variando o valor de k , conseguimos calcular o somatório (usando, de preferência, um software para calcular):

S ≈ ∑ k = 1 n π f y k - 1 + f y k Δ y k 2 + f y k - f y k - 1 2

S ≈ ∑ k = 1 20 π I n y k - 1 + I n y k e - 1 20 2 + I n y k - I n y k - 1 2 = 7,05

Resposta

S ≈ 7,05

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