Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.11 - Ex. 22
- Aproxime por um polinômio de Taylor com grau em .
- Use a desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação quando estiver no intervalo dado.
- Verifique seu resultado na parte (b) traçando
22.
Passo 1
Fala, galera! Tudo belezinha?
Olha só, a questãonos deu uma função e quer, no item (a), uma aproximação dela por um polinômio de Taylor, com e (iremos fazer cinco integrais, belê?).
A partir disso, no item (b) pedem pra gente usar uma desigualdade de Taylor e estimar a precisão da aproximação da função com o polinômio de Taylor no intervalo .
E no item (c), verificar o resultado de (b), traçando , que é básicamente .
Bora passo a passo entender e fazer essa questão.
Passo 2
- Primeiramente, para encontrar os polinômios de Taylor vamos usar o formato da série de Taylor é
- Para usar a desigualdade de Taylor temos a seguinte relação, se, então
- Traçando o gráfico de , para achar a função vamos usar a definição que diz
Para precisaremos até a quinta derivada, então derivando e substituindo no centro
Então nosso polinômio é
Passo 3
Então para estimar o erro, vamos precisar primeiramente da sexta derivada
Se olharmos o gráfico dessa função, ela é crescente entre e , então seu maior valor vai ser em , então podemos afirmar que
Então podemos usar
Passo 4
Temos então que
Agora precisamos do valor de , podemos reescrever o intervalo em módulo
Elevando a quinta potencia
Logo
Passo 5
No plano
Pelo gráfico podemos ver que o erro é menor que .
Resposta
