Encontre a série de Maclaurin para as funções nos Exercícios 11-22.

16. sen(x / 2)

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Começamos com a fórmula para um polinômio de Taylor gerado em x = a

∑ k = 0 ∞ f k a k ! x - a k = f a + f ' a 1 ! x - a 1 + f ' ' a 2 ! x - a 2 + … +

A série de Maclaurin é o polinômio de Taylor gerado especificamente em x = 0 , que é:

∑ k = 0 ∞ f k 0 k ! x k = f 0 + f ' 0 1 ! x 1 + f ' ' 0 2 ! x 2 + … + f n 0 n ! x n + …

Para encontrar a série de Maclaurin para f x = sen ⁡ x 2 ​, podemos encontrar as primeiras derivadas dela e tentar encontrar um padrão. O processo de diferenciação é mostrado abaixo:

f x = sen ⁡ ( x 2 ) → f 0 = sen ⁡ 0 = 0

f ' x = 1 2 cos ⁡ x 2 → f ' 0 = 1 2 cos ⁡ 0 = 1 2

f ' ' x = - 1 4 sen ⁡ x 2 → f ' ' 0 = - 1 4 sen ⁡ 0 = 0

f ' ' ' x = - 1 8 cos ⁡ x 2 → f ' ' ' 0 = - 1 8 cos ⁡ 0 = - 1 8

Seguindo essa lógica e padrão, temos o seguinte

f 2 n + 1 0 = 1 2 2 n + 1 ,     n   s e n d o   p a r - 1 2 2 n + 1 ,     n   s e n d o   í m p a r

Passo 2

Observe que a derivada só é diferente de zero sempre que a derivada for de ordem ímpar e alterna sinais, como nos problemas anteriores, então faremos o expoente de n a 2 n + 1 para contabilizar apenas as derivadas de ordem ímpar porque par -derivadas ordenadas são 0. Portanto, a série de Maclaurin para a função dada é (primeiros cinco termos diferentes de zero mostrados abaixo):

∑ n = 0 ∞ - 1 n 1 2 2 n + 1 2 n + 1 ! x 2 n + 1 = 0 + x 2 + 0 - x 3 3 ! ∙ 2 3 + x 5 5 ! ∙ 2 5 - x 7 7 ! ∙ 2 7 + 0 + x 9 9 ! 2 9 + …

E

∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n + 1 2 n + 1 ! x 2 n + 1 = x 2 - x 3 3 ! ∙ 2 3 + x 5 5 ! ∙ 2 5 - x 7 7 ! ∙ 2 7 + x 9 9 ! ∙ 2 9 - …

Portanto,

f x = sen ⁡ x 2 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n + 1 2 n + 1 ! x 2 n + 1 = x 2 - x 3 3 ! ∙ 2 3 + x 5 5 ! ∙ 2 5 - x 7 7 ! ∙ 2 7 + x 9 9 ! ∙ 2 9 - …

Resposta

f x = sen ⁡ x 2 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n + 1 2 n + 1 ! x 2 n + 1 = x 2 - x 3 3 ! ∙ 2 3 + x 5 5 ! ∙ 2 5 - x 7 7 ! ∙ 2 7 + x 9 9 ! ∙ 2 9 - …

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