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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.8 - Ex. 37

Utilize a série de Taylor gerada por e x em x = a para mostrar que

e x = e a 1 + x - a + x - a 2 2 ! + …

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Seja f uma função com derivadas de todas as ordens ao longo de algum intervalo contendo aa como ponto interior. Então a série de Taylor gerada por f em x = a é

∑ k = 0 ∞ f k a k ! x - a k = f a + f ' a x - a + f ' ' a 2 ! x - a 2 + … + f n a n ! x - a n + …

Sendo que f n a = e a para todo n = 0,1 , 2,3 , … A série gerada por f x = e x em x = a é

e x = e a + e a x - a + e a x - a 2 2 ! + … + e a x - a n n ! + …

Simplificando e colocando o e a em evidência

e x = e a 1 + x - a + x - a 2 2 ! + … + x - a n n ! + …

Resposta

e x = e a 1 + x - a + x - a 2 2 ! + … + x - a n n ! + …

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