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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.8 - Ex. 13

Encontre a série de Maclaurin para as funções nos Exercícios 11-22.

13. 1 1 + x

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Começamos com a fórmula para um polinômio de Taylor gerado em x = a

∑ k = 0 ∞ f k a k ! x - a k = f a + f ' a 1 ! x - a 1 + f ' ' a 2 ! x - a 2 + … +

A série de Maclaurin é o polinômio de Taylor gerado especificamente em x = 0 , que é:

∑ k = 0 ∞ f k 0 k ! x k = f 0 + f ' 0 1 ! x 1 + f ' ' 0 2 ! x 2 + … + f n 0 n ! x n + …

Para encontrar a série de Maclaurin para f x = 1 1 + x ​, podemos encontrar as primeiras derivadas dela e tentar encontrar um padrão. O processo de diferenciação é mostrado abaixo:

f x = 1 1 + x → f 0 = 1 1 = 1

f ' x = - 1 1 + x 2 → f ' 0 = - 1 1 2 = - 1

f ' ' x = 2 1 + x 3 → f ' ' 0 = 2 1 3 = 2

f ' ' ' x = - 6 1 + x 4 → f ' ' ' 0 = - 6 1 4 = - 6

Seguindo essa lógica e padrão, temos o seguinte

f n x = - 1 n n ! 1 + x n → f n 0 = - 1 n n ! 1 n = - 1 n n !

Passo 2

Observe que aplicações repetidas da regra da potência resultam em - 1 n n ! devido aos expoentes negativos. Portanto, a série de Maclaurin para a função dada é (primeiros cinco termos mostrados abaixo):

∑ n = 0 ∞ f n 0 n ! x n = f 0 + f ' 0 1 ! x 1 + f ' ' 0 2 ! x 2 + f ' ' ' 0 3 ! x 3 + f ' ' ' ' 0 4 ! x 4 + …

Desenvolvendo um pouco mais os termos

∑ n = 0 ∞ - 1 n n ! n ! x n = 1 + - 1 1 ! x + 2 2 ! x 2 + - 6 3 ! x 3 + 24 4 ! x 4 + …

Com isso, nós temos que

∑ n - 0 ∞ - 1 n x n = 1 - x + x 2 - x 3 + x 4 + …

Resposta

f x = 1 1 + x = ∑ n - 0 ∞ - 1 n x n = 1 - x + x 2 - x 3 + x 4 + …

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