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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.8 - Ex. 30

Nos Exercícios 23-32, encontre a série de Taylor gerada por f em x = a .

30. f x = 2 x ,   a = 1

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Começamos com a fórmula para um polinômio de Taylor gerado em x = a :

∑ k = 0 ∞ f k a k ! x - a k = f a + f ' a 1 ! x - a 1 + f ' ' a 2 ! x - a 2 + … +

Para encontrar a série de Taylor para f x = 2 x , gerada no ponto a = 1 , podemos encontrar as primeiras derivadas dele. O processo de diferenciação é mostrado abaixo:

f x = 2 x → f 1 = 2

f ' x = 2 x ln ⁡ 2 → f ' 1 = 2 ln ⁡ 2

f ' ' x = 2 x ln 2 ⁡ 2 → f ' ' 1 = 2 ln 2 ⁡ 2

f ' ' ' x = 2 x ln 3 ⁡ 2 → f ' ' ' 1 = 2 ln 3 ⁡ 2

…

f n x = 2 x ln n ⁡ 2 → f n 1 = 2 ln n ⁡ 2

Todas as derivadas de ordem superior existem e são diferentes de zero e pode-se mostrar que existe uma fórmula geral para essas derivadas de ordem superior porque é 2 x , quando diferenciado, é 2 x ln ⁡ 2 . Assim, o polinômio de Taylor (Maclaurin) para isso é:

∑ n = 0 ∞ f n 1 n ! x - 1 n = f 1 + f ' 1 1 ! x - 1 1 + f ' ' 1 2 ! x - 1 2 + f ' ' ' 1 3 ! x - 1 3 + f 4 1 4 ! x - 1 4 + …

Passo 2

Como f n 1 = 2 ln n ⁡ 2 , podemos substituir na série acima

∑ n = 0 ∞ 2 ln 2 ⁡ 2 n ! x - 1 n = 2 + 2 ln ⁡ 2 1 x - 1 1 + 2 ln 2 ⁡ 2 2 x - 1 2 + 2 ln 3 ⁡ 2 6 x - 1 3 + 2 ln 4 ⁡ 2 24 x - 1 4 + …

Portanto,

2 x = ∑ n = 0 ∞ 2 ln 2 ⁡ 2 n ! x - 1 n = 2 + 2 ln ⁡ 2 1 x - 1 1 + 2 ln 2 ⁡ 2 2 x - 1 2 + 2 ln 3 ⁡ 2 6 x - 1 3 + 2 ln 4 ⁡ 2 24 x - 1 4 + …

Resposta

2 x = ∑ n = 0 ∞ 2 ln 2 ⁡ 2 n ! x - 1 n = 2 + 2 ln ⁡ 2 1 x - 1 1 + 2 ln 2 ⁡ 2 2 x - 1 2 + 2 ln 3 ⁡ 2 6 x - 1 3 + 2 ln 4 ⁡ 2 24 x - 1 4 + …

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