Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.5 - Ex. 1
(a) O que é uma série alternada?
(b) Sob que condições uma série alternada converge?
(c) Se essas condições forem satisfeitas, o que você pode dizer sobre o resto depois de n termos?
Passo 1
Oi galera, tudo bem? Vou te ajudar aqui! O problema pergunta sobre séries alternadas! Pergunta como elas são, qual sua condição de convergência e sobre o resto.
Falar que uma série converge, é falar sobre as condições de aplicabilidade do teste! E temos um teste especial para as séries alternadas!
Aliás, as séries alternadas tem esse nome porque seus termos oscilam no sinal! Ora temos um termo positivo, ora um termo negativo, alternando-se entre um e outro .
Mas relaxa, vamos revisar todos esses conceitos para fazer a questão!
Bora lá?
Passo 2
(a) É uma série cujos termos alternam entre positivos e negativos, em geral tem termo da forma
Ou
Onde .
No que se temos , o primeiro termo será
Já o segundo
Terá um sinal oposto do primeiro termo! Isso ocorre em séries alternadas!
Passo 3
(b) A série alternada converge se obedecer o teste da série alternada que tem duas condições
- para todo
Isto é, o módulo dos termos precisam diminuir à medida que aumenta
E o limite do termo geral, sem a parte que alterna o sinal (que pode ser ,, ou outra forma semelhante), deve ir a zero!
Se a série preencher os requisitos, então dizemos que a série alternada converge! Se falhar em um (ou nos dois) dizemos que ela é divergente
Passo 4
(c) Se estimarmos a soma de uma série alternada por , o erro obedece .
Espero ter ajudado!
Resposta
- Série do tipo
- Será convergente se:
- para todo