Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela converge, encontre o limite.

31. a_n = raiz((1 + 4n^2) / (1 + n^2))

Passo 1

Certo, por definição, podemos determinar se uma sequência converge ao aplicarmos o limite dela com n → ∞ , vamos fazer isso na equação dada:

L = lim n → ∞   ⁡ a n = lim n → ∞   ⁡ 1 + 4 n 2 1 + n 2

Passo 2

Para resolvermos esse limite, vamos colocar em evidência, tanto no numerador quanto no denominador, o maior grau de n :

L = lim n → ∞   ⁡ n 2 1 n 2 + 4 n 2 1 n 2 + 1

Simplificando:

L = lim n → ∞   ⁡ 1 n 2 + 4 1 n 2 + 1

Passo 3

Como os termos que possuem n 2 no denominador tendem para zero já que n tende para infinito, ficamos com:

L = 4 1

A sequência então converge para:

L = 2

Resposta

L = 2

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