Enunciado

Aproxime a soma da série com a precisão de quatro casas decimais.

∑ n = 1 ∞ - 1 n n e - 2 n  

Passo 1

Primeiramente, vamos observar a convergência da série pelo Teste da Série Alternada.

A série deve satisfazer as condições abaixo para ser convergente:

i   b n + 1 ≤ b n

i i   lim n → ∞ ⁡ b n = 0

Sabemos que b n = n e - 2 n .

Vamos verificar as condições:

i   b n + 1 ≤ b n

( n + 1 ) e - 2 ( n + 1 ) ≤ n e - 2 n

( n + 1 ) e - 2 n - 2 ≤ n e - 2 n

n + 1 e 2 n + 2 ≤ n e 2 n

Vamos supor valores para n para verificar a relação acima:

Para n = 2 :

3 e 6 ≤ 2 e 4

Para n = 100 :

101 e 202 ≤ 100 e 200

Portanto a primeira condição é satisfeita.

i i   lim n → ∞ ⁡ b n = 0

lim n → ∞ ⁡ n e - 2 n = lim n → ∞ ⁡ n e 2 n

Aplicando a Regra de l’Hopital, obtemos

lim n → ∞ ⁡ 1 2 e 2 n = 0

Logo, a segunda condição também é satisfeita e a série é convergente.

Passo 2

Para termos uma ideia de quantos termos precisamos usar em nossa aproximação, vamos escrever os primeiros termos da série

s = ∑ n = 1 ∞ - 1 n n e - 2 n = - 1 e 2 + 2 e 4 - 3 e 6 + 4 e 8 - 5 e 10 + …

Queremos a soma com precisão de quatro casas decimais, ou seja, as alterações a partir da quinta casa decimal não nos interessa. Olhando a soma acima, vemos que

5 e 10 = 0,00022

Portanto ainda há mudança na quarta casa decimal, porém está bem próximo da quinta casa.

Vamos então continuar nossa busca e avaliar o próximo termo b 6 :

b 6 = 6 e 12 = 0,000036

Portanto, adicionar esse termo à soma s não causará nenhuma mudança no quarto dígito.

Logo, a soma será igual a

s = - 1 e 2 + 2 e 4 - 3 e 6 + 4 e 8 - 5 e 10 = - 0,1050

Resposta

s = - 0,1050

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