Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.6 - Ex. 14
Use o Teste da Razão para determinar se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
E aí, pessoal? Tranquilos?
Aqui temos a vantagem de que o próprio exercício já nos indicou qual método usar para o cálculo. Bom, o teste da razão é basicamente o cálculo desse limite e observação do seu valor :
Sendo a sequência da série que estamos procurando a convergência. Se , a série diverge, mas se , ela vai convergir.
Bora lá?
Passo 2
Vamos começar definindo as expressões que vão para dentro do nosso módulo:
E para encontrar é só substituirmos nosso por :
No caso da série da questão, nosso teste fica:
Simplificando o :
E tirando do módulo:
Passo 3
Agora que já escrevemos de uma maneira mais fácil, precisamos resolver o limite. Da maneira que ele está, vai dar uma indeterminação, vamos abrir o fatorial de cima uma vez para podermos simplificar ele:
Ao aplicarmos o limite, só o numerador tende para infinito porque só ele tem , assim:
Por causa disso a série é divergente.