Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.5 - Ex. 35
Mostre que a série
, onde se for ímpar e se for par, é divergente. Por que o Teste da Série Alternada não se aplica?
Passo 1
Beleza, pessoal? Temos pelo enunciado que que pode varia entre e dependendo do E precisamos mostrar que essa série é divergente.
Primeiramente, vamos tentar escrever esses termos para visualizar melhor a série. Com isso nós conseguiremos separar essa série em duas. Veja:
Quando é ímpar, perceba que os termos da série são positivos, e quando é par, os termos são negativos:
Vamos reescrever assim então:
Vamos recordar um teorema importante sobre séries?
Assim temos:
Perceba que temos uma série como uma subtração de duas séries. Vamos analisar cada uma das seguintes séries individualmente.
Passo 2
Antes de prosseguir vamos recordar alguns conceitos.Quando é dito que uma série converge, quer dizer que essa série tende à um valor fixo. Ou seja, podemos de fato encontrar, ou pelo menos estimar um resultado para sua soma.
Só é possível obter um valor fixo para:
Se ambas convergem. Caso contrário estarei fazendo uma operação de um número finito com um número infinito.
Dito isso, é hora de analisarmos nossas séries:
A série converge, pois:
Aqui temos uma série harmônica do tipo p-séries, com o expoente .
Lembre-se que toda série harmônica do tipo:
Em que , converge.
Passo 3
Agora vamos analisar a convergência da série
Uma opção interessante é utilizarmos o teste da integral. Pois essa é uma expressão fácil de integrar.Vamos ver como que fica?
A função associada será
Temos que integrar a função associado nos mesmos intervalos da série. Se a integral diverge a série diverge, se a integral converge a série também. Simples né?
Então temos:
Aplicando a regrinha de integral imprópria, temos:
diverge, pois:
Passo 4
Show! Sabendo sobre a convergência das séries, vemos que é a subtração entre uma série divergente e uma série convergente. É como se estivéssemos subtraindo um número finito de um número infinito, então ele continua infinito. Logo, mostramos que a série é divergente.
Passo 5
Vamos recordar o que nos diz o teste das séries alternadas?
O teorema de séries alternadas é aplicado à uma série associada que considerará apenas os valores absolutos. Ou seja, aplicando o módulo em cada termo da série.E então duas condições precisam ser atendidas:
- A série precisa ser finalmente decrescente (Ou seja, em direção ao infinito, ela deve sempre decrescer.)
Vamos então verificar se as condições são atendidas?
Perceba que estamos considerando apenas os valores positivos.
Realizando as operações temos:
Perceba que a série claramente não é sempre decrescente.
Ou seja, o teorema de séries alternadas não se aplica.
Resposta
Ficou demonstrado que a série diverge. O teorema de séries alternadas não se aplica, pois não é decrescente.