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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.10 - Ex. 6

Aproxime ln ⁡ 3 usando a regra do ponto médio com n = 20 e estime a magnitude do erro comparando a sua resposta com a produzida diretamente por um recurso computacional.

Passo 1

A fórmula para o ln ⁡ x é:

ln ⁡ x = ∫ 1 x 1 t d t

Se queremos ln ⁡ 5 :

ln ⁡ 5 = ∫ 1 5 1 t d t

E pela regra do ponto médio:

∫ a b f t d t ≈ ∆ t ∑ k = 1 n f t k *

Onde ∆ t é o comprimento comum dos subintervalos e t 1 * ,   t 2 * , … ,   t n * são os pontos médios.

Nesse caso, temos 10 subintervalos, logo ∆ t = 3 - 1 2 0 = 0 , 1 .

Passo 2

Então:

k = 1 → t 1 * = 1 , 05 → 1 t 1 * = 0 , 952381

k = 2 → t 2 * = 1 , 15 → 1 t 2 * = 0 , 869565

k = 3 → t 3 * = 1,25 → 1 t 3 * = 0 , 8

k = 4 → t 4 * = 1,35 → 1 t 4 * = 0 , 740741

k = 5 → t 5 * = 1,45 → 1 t 5 * = 0 , 689655

k = 6 → t 6 * = 1,55 → 1 t 6 * = 0 , 645161

k = 7 → t 7 * = 1,65 → 1 t 7 * = 0 , 606061

k = 8 → t 8 * = 1,75 → 1 t 8 * = 0 , 571429

k = 9 → t 9 * = 1,85 → 1 t 9 * = 0 , 54054

k = 10 → t 10 * = 1,95 → 1 t 10 * = 0 , 512821

k = 11 → t 3 * = 2,05 → 1 t 3 * = 0 , 487805

k = 12 → t 3 * = 2,15 → 1 t 3 * = 0 , 465116

k = 1 3 → t 3 * = 2 , 25 → 1 t 3 * = 0 , 444444

k = 14 → t 3 * = 2 , 35 → 1 t 3 * = 0 , 425532

k = 15 → t 3 * = 2 , 45 → 1 t 3 * = 0 , 408163

k = 16 → t 3 * = 2 , 55 → 1 t 3 * = 0 , 392157

k = 17 → t 3 * = 2 , 65 → 1 t 3 * = 0 , 377358

k = 18 → t 3 * = 2 , 75 → 1 t 3 * = 0 , 363636

k = 19 → t 3 * = 2 , 85 → 1 t 3 * = 0 , 350877

k = 20 → t 3 * = 2 , 95 → 1 t 3 * = 0 , 338983

Somando os valores encontrados, temos: 10,982425

Voltando na fórmula:

∆ t ∑ k = 1 n f t k * = 0 , 1 4,008029 = 1 , 09824 3

Passo 3

O valor de ln ⁡ 3 em uma calculadora é: 1 , 098612 .

De modo que o tamanho do erro na aproximação do ponto médio é cerca de:

1,098612 - 1,098243 = 0,00 0369

Resposta

1,098243 e erro de 0,000369 .

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