Verifique por derivação que a fórmula está correta. ∫ tan 2 ⁡ x d x = tan ⁡ x - x + C

Enunciado

Bom pessoal, nessa questão temos que verificar por derivação que a seguinte fórmula está correta:

A gente tem que a integral indefinida de uma função resulta na sua antiderivada geral, ou seja:

Onde quando derivado é a própria função que está dentro da integral:

Bom galera, se a gente pensar a questão quer que a gente prove, portanto que:

Logo vamos ter que derivar isso:

Beleza, derivada de uma constante é então some, agora a gente deriva isso:

Pela regra da soma vamos divididir em:

A derivada de pela regra da potência de é dada por:

Logo,

Vamos agora derivar a :

Usando a regra da derivada da divisão fica:

Lembra da trigonometria lá que: , a gente coloca isso:

Talvez você lembre que a derivada da tangente é igual a secante ao quadrado:

E foi exatamente isso que encontramos, afinal secante nada mais é que .

Pronto, vamos voltar para nossa função:

Realizando o MMC e a subtração, teremos:

Denovo aquele teorema da trigonometria:

Dessa forma, temos:

Pronto, acabamos de provar o que a questão pediu.

Desenvolvimento nos Passos.