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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.2 - Ex. 34

Um arame fino tem a forma da parte que está no primeiro quadrante da circunferência com centro na origem e raio a . Se a função densidade for ρ x ,   y = k x y , determine a massa e o centro de massa do arame.

Passo 1

Pessoal, tudo show?

Temos um arame em forma de circunferência no primeiro quadrante com centro na origem e raio a . Queremos saber a massa e o centro de massa quando tivermos uma função densidade

ρ x ,   y = k x y

Para essas questões, iremos trabalhar com fórmulas de integrais de linhas, e consequentemente, parametrizar algumas equações. Podemos dizer que estaremos trabalhando com coordenadas cilíndricas por conta da circunferência. Suas fórmulas são:

x = r c o s θ

y = r s e n θ

z = z

r 2 = x 2 + y 2

Passo 2

Vamos usar essa integral de linha pra calcular a massa:

m = ∫ C ρ ( x , y ) d s

Onde d s seria

d s = d x d t 2 + d y d t 2

Precisamos usar a seguinte parametrização pra C :

x = a cos ⁡ t   ,       y = a   s e n   t

Como estamos no primeiro quadrante, os limites de integração será:

0 ≤ t ≤ π 2

Fazendo as derivadas parciais de d s , teremos:

d x d t a cos ⁡ t → - a   s e n   t

d y d t a   s e n   t → a cos ⁡ t

Substituindo na fórmula:

d s = - a   s e n   t 2 + a cos ⁡ t 2   d t = a   d t

Então a integral vai ficar assim:

m = ∫ 0 π 2 k a a cos ⁡ t a   s e n   t   d t

Resolvendo e substituindo pelos limites de integração, chegaremos a

k a 3 s e n 2   t 2 0 π / 2 = k a 3 2 1 - 0 = k a 3 2

Passo 3

Show! Agora vamos calcular o centro de massa.

Para isso, temos o cálculo as coordenadas x e y , de acordo com essas fórmulas aqui:

x C M = 1 m ∫ C x   ρ ( x , y ) d s

y C M = 1 m ∫ C y   ρ ( x , y ) d s

A massa já temos do passo anterior, então faremos para cada coordenada:

x C M = 1 m ∫ C x   ρ ( x , y ) d s

Substituindo com todas as informações que nos deram:

x C M = 1 m ∫ C x   k x y   d s

2 k a 3 ∫ 0 π 2 k a a cos ⁡ t 2 a   s e n   t   d t

Resolvendo, teremos:

2 a - cos 3 ⁡ t 3 0 π 2

Substituindo pelos limites de integração:

2 a 3 0 + 1 = 2 a 3

E para a próxima coordenada, fazemos exatamente os mesmos detalhes:

y C M = 1 m ∫ C y   ρ ( x , y ) d s

y C M = 1 m ∫ C y   k x y   d s

Colocando as informações que já temos:

2 k a 3 ∫ 0 π 2 k a ( a cos ⁡ t ) a   s e n   t 2   d t

Resolvendo tudo, teremos:

2 a s e n 3   t 3 0 π 2 = 2 a 3 1 - 0 = 2 a 3

Ent��o, literalmente, no final das contas, o centro de massa é definido por

2 a 3 , 2 a 3

Show de bolinha 😉

Resposta

m = k a 3 2

2 a 3 , 2 a 3

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Calcule a integral de linha ∫ C F ∙ d r , onde C é dada pela função vetorial r ( t ) . F x ,y = x y 2 i - x 2 j ,r t = t 3 i + t 2 j ,0 ≤ t ≤ 1
Determinar o trabalho realizado pela força f → = 1 x , 1 y Ao longo da curva y = 1 x do ponto ( 1,1 ) ao ponto 2 , 1 2 .
Determinar o trabalho realizado pela força constante f → = i → + j → para deslocar uma partícula ao longo da reta x + y = 1 , do ponto A = 0,1 aB = ( 1,0 ) .
Calcular o trabalho realizado pela força f → = 1 x + 2 , 1 y + 3 Para deslocar uma partícula em linha reta do ponto P ( 3,4 ) até Q = ( - 1,0 ) .
9. Um campo é formado por uma força f → , de módulo igual a 4 unidades de força, que tem a direção do semi-eixo positivo dos x . Encontrar o trabalho desse campo, quando um ponto material descreve no