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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.9 - Ex. 29

Use uma série de potências para aproximar a integral definida com precisão de seis casas decimais.

29.

∫ 0 0,3 x 1 + x 3 d x

Passo 1

Tudo beleza, pessoal?

Nesse exercício iremos usar a série de potências para saber o resultado da integral

∫ 0 0,3 x 1 + x 3 d x

e o resultado precisa ter seis casas decimais. Show?

Vamos procurar transformar o integrando num somatório e fazer a festa, show?

Lembre-se que precisamos fazer uma transformação para ficar o mais parecido com uma série geométrica:

∑ n = 0 ∞ - 1 n x n = ∑ n = 0 ∞ a 1 r n

Passo 2

Podemos reescrever o termo dentro da integral como:

x 1 + x 3

x 1 1 - - x 3

Transformando numa série de potências:

x ∑ n = 0 ∞ - x 3 n

Jogando o termo para dentro do somatório, e organizando, teremos

∑ n = 0 ∞ - 1 n x 3 n + 1

Dessa forma, podemos reescrever a integral como:

∫ x 1 + x 3 d x

∫ ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 3 n + 1 d x

E, dessa forma, integrando, chegaremos a

C + ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 3 n + 1 3 n + 2

Passo 3

Agora, resolvendo a integral definida, temos:

I = ∫ 0 0,3 x 1 + x 3 d x

x 2 2 - x 5 5 + x 8 8 - x 11 11 + … 0 0,3

Substituindo os limites de integração:

0,3 2 2 - 0,3 5 5 + 0,3 8 8 - 0,3 11 11 + …

Podemos notar que essa é uma série alternada, então, se usarmos os três primeiros termos, o erro será, no máximo de 0,3 11 11 ≅ 1,6.10 - 7 , o que é menor do que a precisão pedida no enunciado, sendo assim:

I = 0,3 2 2 - 0,3 5 5 + 0,3 8 8 ≅ 0,044522

Resposta

I ≅ 0,044522

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