Enunciado

9. Um campo é formado por uma força f → , de módulo igual a 4   unidades de força, que tem a direção do semi-eixo positivo dos x . Encontrar o trabalho desse campo, quando um ponto material descreve no sentido horário, a quarta parte do círculo x 2 + y 2 = 4 , que está no 1 °   quadrante.

Passo 1

Bom! Vamos pra mais um probleminha de integral de linha! Nós queremos trabalhar com a seguinte integral:

∫ C f → x , y d r →

E a nossa força f → x , y , de módulo igual a 4   unidades de força, que tem a direção do semi-eixo positivo dos x , é dada por:

f → x , y = ( 4,0 )

Só que r → = ( x , y ) , o que nos leva à:

f → x , y = ( 4,0 )

Encerrada essa pequena introduçãozinha; vamos pro que realmente interessa. Bora tratar de parametrizar a curva C , que é dada por:

x 2 + y 2 = 4

Vamos tentar trabalhar um pouco mais em cima dessa expressão. Bora dividir tudo por 4 :

x 2 + y 2 = 4

x 2 2 2 + y 2 2 2 = 1

x 2 2 2 + y 2 2 2 = 1

Isso aí é uma circunferência de centro na origem e raio 2 .

E como sabemos que nossa curva é uma circunferência, vamos nos lembrar do jeito pelo qual as circunferências, com formato x 2 r 2 + y 2 r 2 = 1   são parametrizadas:

x = r ⋅ cos ⁡ t

y = r ⋅ sen ⁡ t

Como r = 2   no nosso caso, então...

x = 2 cos ⁡ t

y = 2 sen ⁡ t

Logo; uma boa parametrização é:

γ t = ( 2 cos ⁡ t , 2 sen ⁡ t )

Passo 2

O próximo passo agora, é justamente mudar a função que nos é fornecida para os termos dessa parametrização que obtivemos.

Mas nem precisamos, já que a nossa função é dada por:

f → x , y = ( 4,0 )

Passo 3

Seguindo nosso raciocínio. O passo número três consiste em encontrar o termo d r → fazendo:

d r → = γ ' t d t

Ou seja, o que temos que fazer é apenas tirar a primeira derivada de γ t . Vamos lá:

γ ' t = ( - 2 sen ⁡ t ,   2 cos ⁡ t )

Passo 4

Pronto! Só nos resta pegar os três ingredientes que já encontramos e substituir na integral:

∫ C f → x , y d r → = ∫ t 1 t 2 f → x , y d r →

Pera! Mas quais são os limites de integração?

Presta atenção! O ponto material descreve no sentido horário, a quarta parte do círculo x 2 + y 2 = 4 , que está no 1 °   quadrante. Assim, é como se nosso limite de integração começasse em π / 2   e percorresse o círculo até chegar em zero. Temos então, que nosso limite de integração vai de 0 até π / 2 :

∫ 0 π / 2 f → x , y d r →

∫ 0 π / 2 ( 4,0 ) ( - 2 sen ⁡ t ,   2 cos ⁡ t ) d t =

= ∫ 0 π / 2 - 8 sen ⁡ t d t = 8 cos ⁡ t 0 π / 2 = - 8

Resposta

T r a b a l h o   R e a l i z a d o = - 8

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4. Calcule ∫ C F ⋅ dr → Onded. Fx , y = x 2 + y 2 ,x 2 - y 2 e C é a curva de equação y = 1 - 1 - x de 0,0 a2,0
Determine o trabalho realizado pelo campo de força F → ao mover um objeto de P a Q . F → x , y = e - y i → - x e - y j → ;P 0 , 1 ,Q ( 2,0 )
Encontre a integral de linha de f ( x , y ) = y / x ao longo da curva r ( t ) = t 3 i + t 3 j , 1 / 2 ≤ t ≤ 1 .
Calcule ∫ C   x 2 y 4 / 3 d s , onde C é a curva x = t 2 , y = t 3 , para 1 ≤ t ≤ 2