9. Um campo é formado por uma força f→ , de módulo igual a 4 unidades de força, que tem a direção do semi-eixo positivo dos x . Encontrar o trabalho desse campo, quando um ponto material descreve no sentido horário, a quarta parte do círculo x^2 + y^2 = 4 , que está no quadrante.

Passo 1

Bom! Vamos pra mais um probleminha de integral de linha! Nós queremos trabalhar com a seguinte integral:

∫ C f → x , y d r →

E a nossa força f → x , y , de módulo igual a 4   unidades de força, que tem a direção do semi-eixo positivo dos x , é dada por:

f → x , y = ( 4,0 )

Só que r → = ( x , y ) , o que nos leva à:

f → x , y = ( 4,0 )

Encerrada essa pequena introduçãozinha; vamos pro que realmente interessa. Bora tratar de parametrizar a curva C , que é dada por:

x 2 + y 2 = 4

Vamos nessa!

Passo 2

Vamos tentar trabalhar um pouco mais em cima da expressão da nossa curva C . Ela se parece muito com a expressão de um círculo:

x 2 + y 2 = 4

Se repararmos bem, ela é exatamente a expressão de um círculo com raio r = 2 !

Uma boa parametrização seria do tipo:

x = r ⋅ cos ⁡ t

y = r ⋅ sen ⁡ t

Como r = 2   no nosso caso, então...

x = 2 cos ⁡ t

y = 2 sen ⁡ t

Logo, temos que a nossa função de parametrização será:

γ t = ( 2 cos ⁡ t , 2 sen ⁡ t )

Passo 3

O próximo passo agora, é justamente mudar a função que nos é fornecida para os termos dessa parametrização que obtivemos.

Mas nem precisamos, já que a nossa função é dada por:

f → x , y = ( 4,0 )

Passo 4

Seguindo nosso raciocínio. O passo número três consiste em encontrar o termo d r → fazendo:

d r → = γ ' t d t

Ou seja, o que temos que fazer é apenas tirar a primeira derivada de γ t . Vamos lá:

γ ' t = ( - 2 sen ⁡ t ,   2 cos ⁡ t )

Passo 5

Pronto! Só nos resta pegar os três ingredientes que já encontramos e substituir na integral:

∫ C f → x , y d r → = ∫ t 1 t 2 f → x , y d r →

Pera! Mas quais são os limites de integração?

Presta atenção! O ponto material descreve no sentido horário, a quarta parte do círculo x 2 + y 2 = 4 , que está no 1 °   quadrante. Assim, é como se nosso limite de integração começasse em π / 2   e percorresse o círculo até chegar em zero. Temos então, que nosso limite de integração vai de π 2 até 0 :

∫ π 2 0 f → x , y d r →

∫ π 2 0 ( 4,0 ) ( - 2 sen ⁡ t ,   2 cos ⁡ t ) d t =

= ∫ π 2 0 - 8 sen ⁡ t d t

O sinal negativo na integral inverte os limites de integração. Com isso, temos que:

∫ π 2 0 - 8 sen ⁡ t d t = ∫ 0 π 2 8   s e n t   d t

Avaliando essa integral, temos:

= 8 - cos ⁡ π 2 - - cos ⁡ 0 = 8 0 - - 1

Temos então que:

∫ C f → x , y d r → = 8

Resposta

T r a b a l h o   R e a l i z a d o = 8

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