9. Um campo é formado por uma força , de módulo igual a unidades de força, que tem a direção do semi-eixo positivo dos . Encontrar o trabalho desse campo, quando um ponto material descreve no sentido horário, a quarta parte do círculo , que está no quadrante.
Passo 1
Bom! Vamos pra mais um probleminha de integral de linha! Nós queremos trabalhar com a seguinte integral:
E a nossa força , de módulo igual a unidades de força, que tem a direção do semi-eixo positivo dos , é dada por:
Só que , o que nos leva à:
Encerrada essa pequena introduçãozinha; vamos pro que realmente interessa. Bora tratar de parametrizar a curva , que é dada por:
Vamos nessa!
Passo 2
Vamos tentar trabalhar um pouco mais em cima da expressão da nossa curva . Ela se parece muito com a expressão de um círculo:
Se repararmos bem, ela é exatamente a expressão de um círculo com raio !
Uma boa parametrização seria do tipo:
Como no nosso caso, então...
Logo, temos que a nossa função de parametrização será:
Passo 3
O próximo passo agora, é justamente mudar a função que nos é fornecida para os termos dessa parametrização que obtivemos.
Mas nem precisamos, já que a nossa função é dada por:
Passo 4
Seguindo nosso raciocínio. O passo número três consiste em encontrar o termo fazendo:
Ou seja, o que temos que fazer é apenas tirar a primeira derivada de . Vamos lá:
Passo 5
Pronto! Só nos resta pegar os três ingredientes que já encontramos e substituir na integral:
Pera! Mas quais são os limites de integração?
Presta atenção! O ponto material descreve no sentido horário, a quarta parte do círculo , que está no quadrante. Assim, é como se nosso limite de integração começasse em e percorresse o círculo até chegar em zero. Temos então, que nosso limite de integração vai de até :
O sinal negativo na integral inverte os limites de integração. Com isso, temos que:
Avaliando essa integral, temos:
Temos então que: