Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.4 - Ex. 9
9. Um campo é formado por uma força , de módulo igual a unidades de força, que tem a direção do semi-eixo positivo dos . Encontrar o trabalho desse campo, quando um ponto material descreve no sentido horário, a quarta parte do círculo , que está no quadrante.
Passo 1
Bom! Vamos pra mais um probleminha de integral de linha! Nós queremos trabalhar com a seguinte integral:
E a nossa força , de módulo igual a unidades de força, que tem a direção do semi-eixo positivo dos , é dada por:
Só que , o que nos leva à:
Encerrada essa pequena introduçãozinha; vamos pro que realmente interessa. Bora tratar de parametrizar a curva , que é dada por:
Vamos tentar trabalhar um pouco mais em cima dessa expressão. Bora dividir tudo por :
Isso aí é uma circunferência de centro na origem e raio .
E como sabemos que nossa curva é uma circunferência, vamos nos lembrar do jeito pelo qual as circunferências, com formato são parametrizadas:
Como no nosso caso, então...
Logo; uma boa parametrização é:
Passo 2
O próximo passo agora, é justamente mudar a função que nos é fornecida para os termos dessa parametrização que obtivemos.
Mas nem precisamos, já que a nossa função é dada por:
Passo 3
Seguindo nosso raciocínio. O passo número três consiste em encontrar o termo fazendo:
Ou seja, o que temos que fazer é apenas tirar a primeira derivada de . Vamos lá:
Passo 4
Pronto! Só nos resta pegar os três ingredientes que já encontramos e substituir na integral:
Pera! Mas quais são os limites de integração?
Presta atenção! O ponto material descreve no sentido horário, a quarta parte do círculo , que está no quadrante. Assim, é como se nosso limite de integração começasse em e percorresse o círculo até chegar em zero. Temos então, que nosso limite de integração vai de até :